# 第 27746 題：Wilson定理 [返回所在分頁 139](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/139/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-foundations/#q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0071) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0054-27746 · q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0071 ## 原題與已知條件 n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-composite-instance；資料={"n":33}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-composite-instance；資料={"n":33}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-wilson-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-wilson-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [wilson-composite-instance] 操作後 derived = [[n, prime, running_factorial_residues, factorial_residue, minus_one_residue, Wilson_congruence_fails, finite_scope]] 條件：無 直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1 := mul(1, 1) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 1, 1, 1] 操作後 derived = [0, 1, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2 := mul(1, 2) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2 = 2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 2, 1, 2] 操作後 derived = [0, 2, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3 := mul(2, 3) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3 = 6 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 3, 2, 6] 操作後 derived = [0, 6, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4 := mul(6, 4) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4 = 24 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 4, 6, 24] 操作後 derived = [0, 24, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5 := mul(24, 5) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5 = 120 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 5, 24, 120] 操作後 derived = [3, 21, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6 := mul(21, 6) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6 = 126 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 6, 21, 126] 操作後 derived = [3, 27, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7 := mul(27, 7) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7 = 189 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 7, 27, 189] 操作後 derived = [5, 24, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8 := mul(24, 8) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8 = 192 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 8, 24, 192] 操作後 derived = [5, 27, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product9 := mul(27, 9) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product9 = 243 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 9, 27, 243] 操作後 derived = [7, 12, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product10 := mul(12, 10) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product10 = 120 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 10, 12, 120] 操作後 derived = [3, 21, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product11 := mul(21, 11) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product11 = 231 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 11, 21, 231] 操作後 derived = [7, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product12 := mul(0, 12) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product12 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 12, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product13 := mul(0, 13) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product13 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 13, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product14 := mul(0, 14) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product14 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 14, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product15 := mul(0, 15) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product15 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 15, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product16 := mul(0, 16) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product16 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 16, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product17 := mul(0, 17) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product17 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 17, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product18 := mul(0, 18) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product18 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 18, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product19 := mul(0, 19) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product19 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 19, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product20 := mul(0, 20) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product20 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 20, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product21 := mul(0, 21) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product21 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 21, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product22 := mul(0, 22) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product22 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 22, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product23 := mul(0, 23) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product23 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 23, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product24 := mul(0, 24) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product24 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 24, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product25 := mul(0, 25) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product25 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 25, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product26 := mul(0, 26) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product26 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 26, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product27 := mul(0, 27) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product27 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 27, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product28 := mul(0, 28) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product28 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 28, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product29 := mul(0, 29) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product29 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 29, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product30 := mul(0, 30) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product30 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 30, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product31 := mul(0, 31) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product31 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 31, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product32 := mul(0, 32) 操作後 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product32 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 33, 32, 0, 0] 操作後 derived = [0, 0, 是, 是] 條件：無 逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。 步驟識別與依賴規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 source roles = [33, [[1, 1], [2, 2], [3, 6], [4, 24], [5, 21], [6, 27], [7, 24], [8, 27], [9, 12], [10, 21], [11, 0], [12, 0], [13, 0], [14, 0], [15, 0], [16, 0], [17, 0], [18, 0], [19, 0], [20, 0], [21, 0], [22, 0], [23, 0], [24, 0], [25, 0], [26, 0], [27, 0], [28, 0], [29, 0], [30, 0], [31, 0], [32, 0]]] 操作後 derived = [否, 0, 32, 否, 是] 條件：無 prime與congruence分別驗；合數時兩者都False也可equivalenceTrue。一般converse另有理由：若合數有proper divisor d>=2，d同除n與(n-1)!；假設後者≡-1 mod n便使d除1，矛盾。此推理不等於一個有限instance或finite cutoff測試。 步驟識別與依賴規則：Wilson_prime_classification_instance_flags_AND_separate_converse_reason · 依賴：G001, S065 ## 逐步反向核對 - S066 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S065 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product32，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product31，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product30，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product29，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product28，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product27，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product26，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product25，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product24，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product23，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product22，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product21，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product20，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product19，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product18，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product17，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product16，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product15，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product14，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product13，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product12，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product11，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product10，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product9，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 ## 結論 (33, 否, [[1, 1], [2, 2], [3, 6], [4, 24], [5, 21], [6, 27], [7, 24], [8, 27], [9, 12], [10, 21], [11, 0], [12, 0], [13, 0], [14, 0], [15, 0], [16, 0], [17, 0], [18, 0], [19, 0], [20, 0], [21, 0], [22, 0], [23, 0], [24, 0], [25, 0], [26, 0], [27, 0], [28, 0], [29, 0], [30, 0], [31, 0], [32, 0]], 0, 32, 是, finite_composite_instance_not_converse_proof) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 3930e0443003e57326fd3b8a8e0fccbf9a0a6f850bd0f31aa5adb7752fcadd2c - candidate record SHA-256: 4689d8c2b1a1fcd64ce0314bca16aea461a2797b941d4330913f3203ba2ab76b - semantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54 - question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0071.json)