# 第 27467 題：整數p進賦值 [返回所在分頁 138](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/138/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261118-r05-p-adic-valuation-integers-foundations/#q-20261015-advance-20261118-r05-p-adic-valuation-integers-0042) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0053-27467 · q-20261015-advance-20261118-r05-p-adic-valuation-integers-0042 ## 原題與已知條件 prime p、absolute-value factor extraction與v_p(0)=infinity責任。操作=pval-product-additivity；資料={"p":11,"a":187,"b":-2178}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — prime p、absolute-value factor extraction與v_p(0)=infinity責任。操作=pval-product-additivity；資料={"p":11,"a":187,"b":-2178}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-p-adic-valuation-integers](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-p-adic-valuation-integers/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [pval-product-additivity] 操作後 derived = [[p, a, b, valuation_a, valuation_b, product, valuation_product, sum_of_valuations, additivity, infinity_convention]] 條件：無 此頁直接列完整來源欄序與mode特定角色，不靠JavaScript或由答案外形猜介面；No、undefined、infinity各保原意。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1 := div(187, 11) 操作後 Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1 = 17 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Valuation ORIGINAL a dividing prime power1 := mul(1, 11) 操作後 Valuation ORIGINAL a dividing prime power1 = 11 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [Valuation ORIGINAL a, 11, 187, 187, 1] 操作後 derived = [17, 11, 0, 是] 條件：無 當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。 步驟識別與依賴規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Valuation ORIGINAL a terminal factorization product := mul(11, 17) 操作後 Valuation ORIGINAL a terminal factorization product = 187 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [Valuation ORIGINAL a, 11, 187, 187, 1, 17, [11]] 操作後 derived = [187, 6, 是, 是] 條件：無 停止時p不整除unit，所以p^(k+1)不整除|a|，k就是最高指數。負號不改整除性，factorization回到|a|，不是把負a等於正product。 步驟識別與依賴規則：Valuation_terminal_NONdivisible_unit_highest_power · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step1 := div(2178, 11) 操作後 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step1 = 198 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Valuation ORIGINAL b dividing prime power1 := mul(1, 11) 操作後 Valuation ORIGINAL b dividing prime power1 = 11 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [Valuation ORIGINAL b, 11, 2178, 2178, 1] 操作後 derived = [198, 11, 0, 是] 條件：無 當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。 步驟識別與依賴規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step2 := div(198, 11) 操作後 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step2 = 18 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Valuation ORIGINAL b dividing prime power2 := mul(11, 11) 操作後 Valuation ORIGINAL b dividing prime power2 = 121 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [Valuation ORIGINAL b, 11, 2178, 198, 2] 操作後 derived = [18, 121, 0, 是] 條件：無 當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。 步驟識別與依賴規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Valuation ORIGINAL b terminal factorization product := mul(121, 18) 操作後 Valuation ORIGINAL b terminal factorization product = 2178 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [Valuation ORIGINAL b, 11, -2178, 2178, 2, 18, [11, 121]] 操作後 derived = [2178, 7, 是, 是] 條件：無 停止時p不整除unit，所以p^(k+1)不整除|a|，k就是最高指數。負號不改整除性，factorization回到|a|，不是把負a等於正product。 步驟識別與依賴規則：Valuation_terminal_NONdivisible_unit_highest_power · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Valuation ORIGINAL a times b := mul(187, -2178) 操作後 Valuation ORIGINAL a times b = -407286 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step1 := div(407286, 11) 操作後 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step1 = 37026 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Valuation ACTUAL product dividing prime power1 := mul(1, 11) 操作後 Valuation ACTUAL product dividing prime power1 = 11 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [Valuation ACTUAL product, 11, 407286, 407286, 1] 操作後 derived = [37026, 11, 0, 是] 條件：無 當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。 步驟識別與依賴規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step2 := div(37026, 11) 操作後 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step2 = 3366 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Valuation ACTUAL product dividing prime power2 := mul(11, 11) 操作後 Valuation ACTUAL product dividing prime power2 = 121 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [Valuation ACTUAL product, 11, 407286, 37026, 2] 操作後 derived = [3366, 121, 0, 是] 條件：無 當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。 步驟識別與依賴規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step3 := div(3366, 11) 操作後 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step3 = 306 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Valuation ACTUAL product dividing prime power3 := mul(121, 11) 操作後 Valuation ACTUAL product dividing prime power3 = 1331 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 source roles = [Valuation ACTUAL product, 11, 407286, 3366, 3] 操作後 derived = [306, 1331, 0, 是] 條件：無 當前unit可整除p才除；每步|a|=p^k*unit不變，且正unit嚴格下降，所以有限停止。這些衍生整數不套raw-input的1e6上限。 步驟識別與依賴規則：Valuation_EACH_division_source_remainder_and_factor_invariant · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Valuation ACTUAL product terminal factorization product := mul(1331, 306) 操作後 Valuation ACTUAL product terminal factorization product = 407286 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 source roles = [Valuation ACTUAL product, 11, -407286, 407286, 3, 306, [11, 121, 1331]] 操作後 derived = [407286, 9, 是, 是] 條件：無 停止時p不整除unit，所以p^(k+1)不整除|a|，k就是最高指數。負號不改整除性，factorization回到|a|，不是把負a等於正product。 步驟識別與依賴規則：Valuation_terminal_NONdivisible_unit_highest_power · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Valuation ORIGINAL exponent addition := sum(1, 2) 操作後 Valuation ORIGINAL exponent addition = 3 條件：無 逐原始角色與已證中間量精確代值；不以近似值、索引位址或自洽但換過的操作數取代來源。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 source roles = [11, 187, -2178, 1, 2, 17, 18] 操作後 derived = [-407286, 3, 3, 是] 條件：無 非零時a=±p^r*u,b=±p^s*v，prime p不整除u,v就不整除uv（Euclid lemma），故最高指數恰r+s。若一因子0則product0，依同一infinity約定相加；derived product可達1e12，仍是SAFE，不套raw1e6。 步驟識別與依賴規則：Valuation_GENERAL_product_primeness_unit_product_or_zero · 依賴：G001, S027 ## 逐步反向核對 - S028 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL exponent addition，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product terminal factorization product，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product dividing prime power3，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step3，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product dividing prime power2，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step2，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product dividing prime power1，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ACTUAL product ORIGINAL division step1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a times b，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b terminal factorization product，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b dividing prime power2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b dividing prime power1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL b ORIGINAL division step1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a terminal factorization product，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a dividing prime power1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Valuation ORIGINAL a ORIGINAL division step1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查原始完整資料、步驟操作數與本步前提；有限核對、條件式定理引用與一般形式證明分開。 ## 結論 (11, 187, -2178, 1, 2, -407286, 3, 3, 是, infinity_plus_k_equals_infinity) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 13b3233ac358e125008cc47b2ca6c50e380dc2b7ee41c124fd83ed705dea65a5 - candidate record SHA-256: a8a01506faf68117b235da985858c62884c8873258b202d104e1f54a3ef4d55f - semantic review receipt SHA-256: 1b7a62514347b82518305d5feb4369a52d7d44c442a0f2b131e9eb3cd7b45f62 - question-first witness SHA-256: 79dc2a1077081f3ea2a03f75e32778163bf05e814cdf4c29ed86e567295f9ee1 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-advance-20261118-r05-p-adic-valuation-integers-0042.json)