# 第 28097 題：Newton法 [返回所在分頁 141](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/141/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r01-newton-method-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r01-0022) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0055-28097 · q-20261015-pulse-20261119-r01-0022 ## 原題與已知條件 Newton更新、root-first停止與nonzero derivative責任。操作=newton-step；明示資料={"coefficients":[-22,0,1],"x":3}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — Newton更新、root-first停止與nonzero derivative責任。操作=newton-step；明示資料={"coefficients":[-22,0,1],"x":3}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-newton-method](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-newton-method/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod50-newton-step, newton-step] 操作後 derived = [[coefficients_low_to_high, current_iterate, function_value, derivative_value, status, next_iterate_or_null, root_first_convention]] 條件：無 此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。 步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Newton ORIGINAL polynomial ORIGINAL derivative coefficient1 := mul(1, 0) 操作後 Newton ORIGINAL polynomial ORIGINAL derivative coefficient1 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Newton ORIGINAL polynomial ORIGINAL derivative coefficient2 := mul(2, 1) 操作後 Newton ORIGINAL polynomial ORIGINAL derivative coefficient2 = 2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [Newton ORIGINAL polynomial, [-22, 0, 1]] 操作後 derived = [[-22, 0, 1], [0, 2]] 條件：無 原vector先要求2..6，再只刪trailing zeros且仍須非constant。逐x^i微分得i*c_i*x^(i-1)，來源derivative係數亦先過1e8 profile，即使稍後root停止或steps0也不跳過。 步驟識別與依賴規則：Newton_polynomial_raw_arity_trim_nonconstant_AND_ALL_derivative_coefficients · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner multiply degree2 := mul(0, 3) 操作後 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner multiply degree2 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner add coefficient2 := sum(0, 1) 操作後 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner add coefficient2 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner multiply degree1 := mul(1, 3) 操作後 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner multiply degree1 = 3 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner add coefficient1 := sum(3, 0) 操作後 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner add coefficient1 = 3 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner multiply degree0 := mul(3, 3) 操作後 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner multiply degree0 = 9 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner add coefficient0 := sum(9, -22) 操作後 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner add coefficient0 = -13 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner multiply degree1 := mul(0, 3) 操作後 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner multiply degree1 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner add coefficient1 := sum(0, 2) 操作後 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner add coefficient1 = 2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner multiply degree0 := mul(2, 3) 操作後 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner multiply degree0 = 6 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner add coefficient0 := sum(6, 0) 操作後 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner add coefficient0 = 6 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step ORIGINAL f over fprime := div(-13, 6) 操作後 Newton ORIGINAL step ORIGINAL f over fprime = -13/6 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Newton ORIGINAL step ORIGINAL tangent zero update := sub(3, -13/6) 操作後 Newton ORIGINAL step ORIGINAL tangent zero update = 31/6 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [Newton ORIGINAL step, [-22, 0, 1], [0, 2], 3] 操作後 derived = [-13, 6, updated, 31/6] 條件：無 先完整計f與f_prime，再先驗f=0；exact root即停止，哪怕slope0也不作0/0。非根才需slope非0，解tangent線f(x)+f_prime(x)(z-x)=0得z=x-f/f_prime。 步驟識別與依賴規則：Newton_EACH_f_AND_fprime_ROOT_FIRST_then_nonzero_derivative_division · 依賴：G001, S016 ## 逐步反向核對 - S017 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step ORIGINAL tangent zero update，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step ORIGINAL f over fprime，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner add coefficient0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner multiply degree0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner add coefficient1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step fprime ORIGINAL Horner multiply degree1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner add coefficient0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner multiply degree0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner add coefficient1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner multiply degree1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner add coefficient2，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL step f ORIGINAL Horner multiply degree2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL polynomial ORIGINAL derivative coefficient2，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton ORIGINAL polynomial ORIGINAL derivative coefficient1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 ## 結論 ([-22, 0, 1], 3, -13, 6, updated, 31/6, root_test_precedes_division) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: c4d345c71dfb392e6999cb16c4261d2fa5a1d28da98a86c049f76642629ef32a - candidate record SHA-256: e781c1b53ed05fbb8787cf065ab3e825e4a98abfc197a9a2a8b87804b52fa8c5 - semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683 - question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r01-0022.json)