# 第 28075 題：Newton法 [返回所在分頁 141](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/141/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r01-newton-method-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r01-0075) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0055-28075 · q-20261015-pulse-20261119-r01-0075 ## 原題與已知條件 Newton更新、root-first停止與nonzero derivative責任。操作=newton-square-root-orbit；明示資料={"radicand":26,"steps":1,"x0":1}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — Newton更新、root-first停止與nonzero derivative責任。操作=newton-square-root-orbit；明示資料={"radicand":26,"steps":1,"x0":1}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-newton-method](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-newton-method/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod50-newton-square-root-orbit, newton-square-root-orbit] 操作後 derived = [[radicand, initial_iterate, step_budget, step_records, status, final_iterate, final_absolute_residual, general_Newton_proof_claim, finite_scope]] 條件：無 此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。 步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL square := mul(1, 1) 操作後 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL square = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL signed residual := sub(1, 26) 操作後 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL signed residual = -25 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL A over x := div(26, 1) 操作後 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL A over x = 26 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL x plus A over x := sum(1, 26) 操作後 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL x plus A over x = 27 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL half update := div(27, 2) 操作後 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL half update = 27/2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Newton sqrt ORIGINAL final square EVEN steps0 := mul(27/2, 27/2) 操作後 Newton sqrt ORIGINAL final square EVEN steps0 = 729/4 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Newton sqrt ORIGINAL final signed residual := sub(729/4, 26) 操作後 Newton sqrt ORIGINAL final signed residual = 625/4 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [26, 1, 1] 操作後 derived = [[[0, 1, -25, updated, 27/2]], step_budget_exhausted, 27/2, 625/4, 否] 條件：無 正A與正x0使(x+A/x)/2為正且可除，exact root先停止。最後abs residual即使steps0仍按來源計；它是|x²-A|，不是未提供的|x-sqrt(A)|，有限軌道不作一般收斂證書。 步驟識別與依賴規則：Newton_sqrt_positive_iteration_ROOT_FIRST_residual_NOT_forward_error · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt ORIGINAL final signed residual，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt ORIGINAL final square EVEN steps0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL half update，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL x plus A over x，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL A over x，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL signed residual，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton sqrt attempt0 ORIGINAL square，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 ## 結論 (26, 1, 1, [[0, 1, -25, updated, 27/2]], step_budget_exhausted, 27/2, 625/4, 否, finite_square_root_orbit_does_not_prove_a_general_Newton_theorem) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 2ef78c4c17297fa3946c8f5e146b5778ddb2fd7debf4ef8863acc6a07d0ac5f5 - candidate record SHA-256: f57f20b7c72c4c3d793fe502f9945be65df672b04fbc965649284ddd88912fa1 - semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683 - question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r01-0075.json)