# 第 28015 題：Newton法 [返回所在分頁 141](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/141/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r01-newton-method-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r01-0090) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0055-28015 · q-20261015-pulse-20261119-r01-0090 ## 原題與已知條件 Newton更新、root-first停止與nonzero derivative責任。操作=newton-boundary；明示資料={"mode":"root_stop","model":{"coefficients":[-15,1],"x":15}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — Newton更新、root-first停止與nonzero derivative責任。操作=newton-boundary；明示資料={"mode":"root_stop","model":{"coefficients":[-15,1],"x":15}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-newton-method](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-newton-method/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod50-newton-boundary, newton-boundary] 操作後 derived = [[mode, current_iterate, function_value, derivative_value, root_first_status, root_stop_qualified]] 條件：無 此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。 步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Newton boundary polynomial ORIGINAL derivative coefficient1 := mul(1, 1) 操作後 Newton boundary polynomial ORIGINAL derivative coefficient1 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 source roles = [Newton boundary polynomial, [-15, 1]] 操作後 derived = [[-15, 1], [1]] 條件：無 原vector先要求2..6，再只刪trailing zeros且仍須非constant。逐x^i微分得i*c_i*x^(i-1)，來源derivative係數亦先過1e8 profile，即使稍後root停止或steps0也不跳過。 步驟識別與依賴規則：Newton_polynomial_raw_arity_trim_nonconstant_AND_ALL_derivative_coefficients · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Newton boundary record f ORIGINAL Horner multiply degree1 := mul(0, 15) 操作後 Newton boundary record f ORIGINAL Horner multiply degree1 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Newton boundary record f ORIGINAL Horner add coefficient1 := sum(0, 1) 操作後 Newton boundary record f ORIGINAL Horner add coefficient1 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Newton boundary record f ORIGINAL Horner multiply degree0 := mul(1, 15) 操作後 Newton boundary record f ORIGINAL Horner multiply degree0 = 15 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Newton boundary record f ORIGINAL Horner add coefficient0 := sum(15, -15) 操作後 Newton boundary record f ORIGINAL Horner add coefficient0 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Newton boundary record fprime ORIGINAL Horner multiply degree0 := mul(0, 15) 操作後 Newton boundary record fprime ORIGINAL Horner multiply degree0 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Newton boundary record fprime ORIGINAL Horner add coefficient0 := sum(0, 1) 操作後 Newton boundary record fprime ORIGINAL Horner add coefficient0 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 source roles = [Newton boundary record, [-15, 1], [1], 15] 操作後 derived = [0, 1, root_found, null] 條件：無 先完整計f與f_prime，再先驗f=0；exact root即停止，哪怕slope0也不作0/0。非根才需slope非0，解tangent線f(x)+f_prime(x)(z-x)=0得z=x-f/f_prime。 步驟識別與依賴規則：Newton_EACH_f_AND_fprime_ROOT_FIRST_then_nonzero_derivative_division · 依賴：G001, S009 ## 逐步反向核對 - S010 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton boundary record fprime ORIGINAL Horner add coefficient0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton boundary record fprime ORIGINAL Horner multiply degree0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton boundary record f ORIGINAL Horner add coefficient0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton boundary record f ORIGINAL Horner multiply degree0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton boundary record f ORIGINAL Horner add coefficient1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton boundary record f ORIGINAL Horner multiply degree1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Newton boundary polynomial ORIGINAL derivative coefficient1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 ## 結論 (root_stop, 15, 0, 1, root_found_before_derivative_division, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 4687253381e2fbfad9ccb5de1ec639c2597d775d80394d4c39a25151451a7166 - candidate record SHA-256: a3c318fffbf3867dafb408aeda5e20b54968a3e97fbc78ecce9135eb44d207d8 - semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683 - question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r01-0090.json)