# 第 28104 題：複合梯形法 [返回所在分頁 141](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/141/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r02-trapezoidal-quadrature-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r02-0054) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0055-28104 · q-20261015-pulse-20261119-r02-0054 ## 原題與已知條件 嚴格遞增partition、n+1 nodes與逐subinterval寬度。操作=trap-affine-exactness；明示資料={"intercept":4,"nodes":[0,1,6],"slope":2}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — 嚴格遞增partition、n+1 nodes與逐subinterval寬度。操作=trap-affine-exactness；明示資料={"intercept":4,"nodes":[0,1,6],"slope":2}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-trapezoidal-quadrature](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-trapezoidal-quadrature/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod50-trap-affine-exactness, trap-affine-exactness] 操作後 derived = [[slope, intercept, nodes, endpoint_values, trapezoid_value, exact_integral, exact_on_this_partition, scope]] 條件：無 此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。 步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL value product0 := mul(2, 0) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL value product0 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL value plus intercept0 := sum(0, 4) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL value plus intercept0 = 4 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL value product1 := mul(2, 1) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL value product1 = 2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL value plus intercept1 := sum(2, 4) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL value plus intercept1 = 6 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL value product2 := mul(2, 6) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL value product2 = 12 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL value plus intercept2 := sum(12, 4) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL value plus intercept2 = 16 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Trapezoid affine partition ORIGINAL width0 := sub(1, 0) 操作後 Trapezoid affine partition ORIGINAL width0 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Trapezoid affine partition ORIGINAL width1 := sub(6, 1) 操作後 Trapezoid affine partition ORIGINAL width1 = 5 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Trapezoid affine partition ORIGINAL width over2 interval0 := div(1, 2) 操作後 Trapezoid affine partition ORIGINAL width over2 interval0 = 1/2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Trapezoid affine partition ORIGINAL endpoint sum interval0 := sum(4, 6) 操作後 Trapezoid affine partition ORIGINAL endpoint sum interval0 = 10 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Trapezoid affine partition ORIGINAL individual trapezoid interval0 := mul(1/2, 10) 操作後 Trapezoid affine partition ORIGINAL individual trapezoid interval0 = 5 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [Trapezoid affine partition, 0, 0, 1, 4, 6] 操作後 derived = [1, 1/2, 10, 5] 條件：無 用這一段的原始兩端與自己的width，乘endpoint average；width可不同、values可負，不排序或把所有段換第一段width。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_EACH_original_interval_own_width_and_aligned_endpoints · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Trapezoid affine partition ORIGINAL width over2 interval1 := div(5, 2) 操作後 Trapezoid affine partition ORIGINAL width over2 interval1 = 5/2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Trapezoid affine partition ORIGINAL endpoint sum interval1 := sum(6, 16) 操作後 Trapezoid affine partition ORIGINAL endpoint sum interval1 = 22 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Trapezoid affine partition ORIGINAL individual trapezoid interval1 := mul(5/2, 22) 操作後 Trapezoid affine partition ORIGINAL individual trapezoid interval1 = 55 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [Trapezoid affine partition, 1, 1, 6, 6, 16] 操作後 derived = [5, 5/2, 22, 55] 條件：無 用這一段的原始兩端與自己的width，乘endpoint average；width可不同、values可負，不排序或把所有段換第一段width。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_EACH_original_interval_own_width_and_aligned_endpoints · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Trapezoid affine partition ORIGINAL trapezoid running total0 := sum(0, 5) 操作後 Trapezoid affine partition ORIGINAL trapezoid running total0 = 5 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Trapezoid affine partition ORIGINAL trapezoid running total1 := sum(5, 55) 操作後 Trapezoid affine partition ORIGINAL trapezoid running total1 = 60 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [Trapezoid affine partition, [[0, 1], [1, 1], [6, 1]], [[4, 1], [6, 1], [16, 1]]] 操作後 derived = [[0, 1, 6], [4, 6, 16], [1, 5], [5, 55], 60] 條件：無 完整partition須原次序strictly increasing，n段用n+1個aligned nodes/values（上界24不是vector8）。表可決定這個sum，未給full integrand時不決定唯一積分。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_COMPLETE_partition_n_intervals_nplus1_nodes_no_unique_integrand · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL slope over2 := div(2, 2) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL slope over2 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL right square := mul(6, 6) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL right square = 36 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL left square := mul(0, 0) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL left square = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL square difference := sub(36, 0) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL square difference = 36 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL quadratic integral part := mul(1, 36) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL quadratic integral part = 36 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL whole width := sub(6, 0) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL whole width = 6 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL intercept integral part := mul(4, 6) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL intercept integral part = 24 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Trapezoid affine ORIGINAL exact integral := sum(36, 24) 操作後 Trapezoid affine ORIGINAL exact integral = 60 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 source roles = [2, 4, [0, 1, 6], [4, 6, 16]] 操作後 derived = [60, 60, 是] 條件：無 full affine law使每段endpoint average等於線性函數在該段的平均，逐段等於反導函數差；內部端點相消所以任何qualified partition都exact。不能推任意函數同樣exact。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_WHOLE_affine_exactness_each_interval_antiderivative_telescopes · 依賴：G001, S028 ## 逐步反向核對 - S029 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL exact integral，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL intercept integral part，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL whole width，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL quadratic integral part，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL square difference，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL left square，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL right square，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL slope over2，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine partition ORIGINAL trapezoid running total1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine partition ORIGINAL trapezoid running total0，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine partition ORIGINAL individual trapezoid interval1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine partition ORIGINAL endpoint sum interval1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine partition ORIGINAL width over2 interval1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine partition ORIGINAL individual trapezoid interval0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine partition ORIGINAL endpoint sum interval0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine partition ORIGINAL width over2 interval0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine partition ORIGINAL width1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine partition ORIGINAL width0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL value plus intercept2，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL value product2，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL value plus intercept1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL value product1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL value plus intercept0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid affine ORIGINAL value product0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 ## 結論 (2, 4, [0, 1, 6], [4, 6, 16], 60, 60, 是, affine_exactness_on_this_partition_does_not_imply_all_functions_are_exact) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: ffe15de52d21fe7781d5dee759c4e8fb9d7cf4104521bf793615f7dbd920c0a6 - candidate record SHA-256: 6bbeaf8631ca9304ceacc8f7bda9655b0b195a5a33476dbe688e38a88239ab12 - semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683 - question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r02-0054.json)