# 第 28170 題：複合梯形法 [返回所在分頁 141](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/141/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r02-trapezoidal-quadrature-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r02-0095) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0055-28170 · q-20261015-pulse-20261119-r02-0095 ## 原題與已知條件 嚴格遞增partition、n+1 nodes與逐subinterval寬度。操作=trap-error-boundary；明示資料={"mode":"single_width_confusion","model":{"nodes":[0,1,22],"values":[19,39,61]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — 嚴格遞增partition、n+1 nodes與逐subinterval寬度。操作=trap-error-boundary；明示資料={"mode":"single_width_confusion","model":{"nodes":[0,1,22],"values":[19,39,61]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-trapezoidal-quadrature](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-trapezoidal-quadrature/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod50-trap-error-boundary, trap-error-boundary] 操作後 derived = [[mode, individual_widths, correct_value, wrong_single_width_value, single_width_method_claim, boundary]] 條件：無 此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。 步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width0 := sub(1, 0) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width0 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width1 := sub(22, 1) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width1 = 21 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval0 := div(1, 2) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval0 = 1/2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval0 := sum(19, 39) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval0 = 58 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval0 := mul(1/2, 58) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval0 = 29 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Trapezoid boundary ORIGINAL, 0, 0, 1, 19, 39] 操作後 derived = [1, 1/2, 58, 29] 條件：無 用這一段的原始兩端與自己的width，乘endpoint average；width可不同、values可負，不排序或把所有段換第一段width。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_EACH_original_interval_own_width_and_aligned_endpoints · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval1 := div(21, 2) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval1 = 21/2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval1 := sum(39, 61) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval1 = 100 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval1 := mul(21/2, 100) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval1 = 1050 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Trapezoid boundary ORIGINAL, 1, 1, 22, 39, 61] 操作後 derived = [21, 21/2, 100, 1050] 條件：無 用這一段的原始兩端與自己的width，乘endpoint average；width可不同、values可負，不排序或把所有段換第一段width。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_EACH_original_interval_own_width_and_aligned_endpoints · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total0 := sum(0, 29) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total0 = 29 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total1 := sum(29, 1050) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total1 = 1079 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [Trapezoid boundary ORIGINAL, [0, 1, 22], [19, 39, 61]] 操作後 derived = [[0, 1, 22], [19, 39, 61], [1, 21], [29, 1050], 1079] 條件：無 完整partition須原次序strictly increasing，n段用n+1個aligned nodes/values（上界24不是vector8）。表可決定這個sum，未給full integrand時不決定唯一積分。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_COMPLETE_partition_n_intervals_nplus1_nodes_no_unique_integrand · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values sum := sum(19, 61) 操作後 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values sum = 80 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values half := div(80, 2) 操作後 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values half = 40 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL interior sum0 := sum(0, 39) 操作後 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL interior sum0 = 39 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL bracket := sum(40, 39) 操作後 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL bracket = 79 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL FIRST width times bracket := mul(1, 79) 操作後 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL FIRST width times bracket = 79 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [[1, 21], [19, 39, 61]] 操作後 derived = [1079, 79, 否] 條件：無 至少兩種width且實算wrong不同，才證這個single-width shortcut錯；不把偶然同值或uniform partition當反例。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_ACTUAL_nonuniform_discriminating_first_width_error · 依賴：G001, S019 ## 逐步反向核對 - S020 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL FIRST width times bracket，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL bracket，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL interior sum0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values half，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values sum，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 ## 結論 (single_width_confusion, [1, 21], 1079, 79, 否, nonuniform_partition_cannot_use_one_global_width) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 552fefc6539cec12e87389d661a18654e3eefb8a82b45c76618d18908430fd30 - candidate record SHA-256: c050b8580926c5b303e3cc297d131eb4fb315758ed16e0598faeeb9981f2368f - semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683 - question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r02-0095.json)