# 第 28171 題：複合梯形法 [返回所在分頁 141](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/141/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r02-trapezoidal-quadrature-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r02-0096) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0055-28171 · q-20261015-pulse-20261119-r02-0096 ## 原題與已知條件 嚴格遞增partition、n+1 nodes與逐subinterval寬度。操作=trap-error-boundary；明示資料={"mode":"quadratic_reference","model":{"coefficients":[21,1,1],"nodes":[0,1,23]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — 嚴格遞增partition、n+1 nodes與逐subinterval寬度。操作=trap-error-boundary；明示資料={"mode":"quadratic_reference","model":{"coefficients":[21,1,1],"nodes":[0,1,23]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-trapezoidal-quadrature](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-trapezoidal-quadrature/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod50-trap-error-boundary, trap-error-boundary] 操作後 derived = [[mode, coefficients_low_to_high, nodes, trapezoid_value, exact_integral, signed_error_I_minus_T, absolute_error, general_error_bound_claim, scope]] 條件：無 此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。 步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference polynomial ORIGINAL derivative coefficient1 := mul(1, 1) 操作後 Trapezoid quadratic reference polynomial ORIGINAL derivative coefficient1 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference polynomial ORIGINAL derivative coefficient2 := mul(2, 1) 操作後 Trapezoid quadratic reference polynomial ORIGINAL derivative coefficient2 = 2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [Trapezoid quadratic reference polynomial, [21, 1, 1]] 操作後 derived = [[21, 1, 1], [1, 2]] 條件：無 原vector先要求2..6，再只刪trailing zeros且仍須非constant。逐x^i微分得i*c_i*x^(i-1)，來源derivative係數亦先過1e8 profile，即使稍後root停止或steps0也不跳過。 步驟識別與依賴規則：Newton_polynomial_raw_arity_trim_nonconstant_AND_ALL_derivative_coefficients · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner multiply degree2 := mul(0, 0) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner multiply degree2 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner add coefficient2 := sum(0, 1) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner add coefficient2 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner multiply degree1 := mul(1, 0) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner multiply degree1 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner add coefficient1 := sum(0, 1) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner add coefficient1 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner multiply degree0 := mul(1, 0) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner multiply degree0 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner add coefficient0 := sum(0, 21) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner add coefficient0 = 21 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner multiply degree2 := mul(0, 1) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner multiply degree2 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner add coefficient2 := sum(0, 1) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner add coefficient2 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner multiply degree1 := mul(1, 1) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner multiply degree1 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner add coefficient1 := sum(1, 1) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner add coefficient1 = 2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner multiply degree0 := mul(2, 1) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner multiply degree0 = 2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner add coefficient0 := sum(2, 21) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner add coefficient0 = 23 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner multiply degree2 := mul(0, 23) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner multiply degree2 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner add coefficient2 := sum(0, 1) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner add coefficient2 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner multiply degree1 := mul(1, 23) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner multiply degree1 = 23 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner add coefficient1 := sum(23, 1) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner add coefficient1 = 24 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner multiply degree0 := mul(24, 23) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner multiply degree0 = 552 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner add coefficient0 := sum(552, 21) 操作後 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner add coefficient0 = 573 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width0 := sub(1, 0) 操作後 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width0 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width1 := sub(23, 1) 操作後 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width1 = 22 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width over2 interval0 := div(1, 2) 操作後 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width over2 interval0 = 1/2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL endpoint sum interval0 := sum(21, 23) 操作後 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL endpoint sum interval0 = 44 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL individual trapezoid interval0 := mul(1/2, 44) 操作後 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL individual trapezoid interval0 = 22 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 source roles = [Trapezoid quadratic partition, 0, 0, 1, 21, 23] 操作後 derived = [1, 1/2, 44, 22] 條件：無 用這一段的原始兩端與自己的width，乘endpoint average；width可不同、values可負，不排序或把所有段換第一段width。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_EACH_original_interval_own_width_and_aligned_endpoints · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width over2 interval1 := div(22, 2) 操作後 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width over2 interval1 = 11 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL endpoint sum interval1 := sum(23, 573) 操作後 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL endpoint sum interval1 = 596 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL individual trapezoid interval1 := mul(11, 596) 操作後 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL individual trapezoid interval1 = 6556 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 source roles = [Trapezoid quadratic partition, 1, 1, 23, 23, 573] 操作後 derived = [22, 11, 596, 6556] 條件：無 用這一段的原始兩端與自己的width，乘endpoint average；width可不同、values可負，不排序或把所有段換第一段width。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_EACH_original_interval_own_width_and_aligned_endpoints · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL trapezoid running total0 := sum(0, 22) 操作後 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL trapezoid running total0 = 22 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL trapezoid running total1 := sum(22, 6556) 操作後 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL trapezoid running total1 = 6578 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 source roles = [Trapezoid quadratic partition, [[0, 1], [1, 1], [23, 1]], [[21, 1], [23, 1], [573, 1]]] 操作後 derived = [[0, 1, 23], [21, 23, 573], [1, 22], [22, 6556], 6578] 條件：無 完整partition須原次序strictly increasing，n段用n+1個aligned nodes/values（上界24不是vector8）。表可決定這個sum，未給full integrand時不決定唯一積分。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_COMPLETE_partition_n_intervals_nplus1_nodes_no_unique_integrand · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL coefficient over1 := div(21, 1) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL coefficient over1 = 21 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference right term0 ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 23) 操作後 Trapezoid quadratic reference right term0 ORIGINAL power multiply1 = 23 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference left term0 ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 0) 操作後 Trapezoid quadratic reference left term0 ORIGINAL power multiply1 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL power difference0 := sub(23, 0) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL power difference0 = 23 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integrated term0 := mul(21, 23) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integrated term0 = 483 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integral running sum0 := sum(0, 483) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integral running sum0 = 483 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL coefficient over2 := div(1, 2) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL coefficient over2 = 1/2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference right term1 ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 23) 操作後 Trapezoid quadratic reference right term1 ORIGINAL power multiply1 = 23 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference right term1 ORIGINAL power multiply2 := mul(23, 23) 操作後 Trapezoid quadratic reference right term1 ORIGINAL power multiply2 = 529 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference left term1 ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 0) 操作後 Trapezoid quadratic reference left term1 ORIGINAL power multiply1 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference left term1 ORIGINAL power multiply2 := mul(0, 0) 操作後 Trapezoid quadratic reference left term1 ORIGINAL power multiply2 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL power difference1 := sub(529, 0) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL power difference1 = 529 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integrated term1 := mul(1/2, 529) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integrated term1 = 529/2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integral running sum1 := sum(483, 529/2) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integral running sum1 = 1495/2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL coefficient over3 := div(1, 3) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL coefficient over3 = 1/3 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference right term2 ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 23) 操作後 Trapezoid quadratic reference right term2 ORIGINAL power multiply1 = 23 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference right term2 ORIGINAL power multiply2 := mul(23, 23) 操作後 Trapezoid quadratic reference right term2 ORIGINAL power multiply2 = 529 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference right term2 ORIGINAL power multiply3 := mul(529, 23) 操作後 Trapezoid quadratic reference right term2 ORIGINAL power multiply3 = 12167 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference left term2 ORIGINAL power multiply1 := mul(1, 0) 操作後 Trapezoid quadratic reference left term2 ORIGINAL power multiply1 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference left term2 ORIGINAL power multiply2 := mul(0, 0) 操作後 Trapezoid quadratic reference left term2 ORIGINAL power multiply2 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference left term2 ORIGINAL power multiply3 := mul(0, 0) 操作後 Trapezoid quadratic reference left term2 ORIGINAL power multiply3 = 0 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL power difference2 := sub(12167, 0) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL power difference2 = 12167 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integrated term2 := mul(1/3, 12167) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integrated term2 = 12167/3 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integral running sum2 := sum(1495/2, 12167/3) 操作後 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integral running sum2 = 28819/6 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Trapezoid ORIGINAL signed error I minus T := sub(28819/6, 6578) 操作後 Trapezoid ORIGINAL signed error I minus T = -10649/6 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 source roles = [[21, 1, 1], [0, 1, 23]] 操作後 derived = [6578, 28819/6, -10649/6, 10649/6, 否] 條件：無 提供完整quadratic才可精確積分作reference，signed error固定I-T、abs另列；這不是由endpoint table推唯一integrand，也不自動給一般二階導數誤差界或order。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_ACTUAL_full_quadratic_reference_IminusT_NOT_general_error_theorem · 依賴：G001, S060 ## 逐步反向核對 - S061 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid ORIGINAL signed error I minus T，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integral running sum2，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integrated term2，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL power difference2，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference left term2 ORIGINAL power multiply3，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference left term2 ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference left term2 ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference right term2 ORIGINAL power multiply3，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference right term2 ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference right term2 ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL coefficient over3，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integral running sum1，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integrated term1，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL power difference1，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference left term1 ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference left term1 ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference right term1 ORIGINAL power multiply2，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference right term1 ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL coefficient over2，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integral running sum0，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL integrated term0，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL power difference0，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference left term0 ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference right term0 ORIGINAL power multiply1，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference ORIGINAL coefficient over1，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL trapezoid running total1，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL trapezoid running total0，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL individual trapezoid interval1，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL endpoint sum interval1，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width over2 interval1，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL individual trapezoid interval0，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL endpoint sum interval0，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width over2 interval0，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width1，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic partition ORIGINAL width0，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner add coefficient0，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner multiply degree0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner add coefficient1，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner multiply degree1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner add coefficient2，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node2 ORIGINAL Horner multiply degree2，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner add coefficient0，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner multiply degree0，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner add coefficient1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner multiply degree1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner add coefficient2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node1 ORIGINAL Horner multiply degree2，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner add coefficient0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner multiply degree0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner add coefficient1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner multiply degree1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner add coefficient2，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic ORIGINAL node0 ORIGINAL Horner multiply degree2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference polynomial ORIGINAL derivative coefficient2，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid quadratic reference polynomial ORIGINAL derivative coefficient1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 ## 結論 (quadratic_reference, [21, 1, 1], [0, 1, 23], 6578, 28819/6, -10649/6, 10649/6, 否, exact_polynomial_reference_error_is_not_a_general_second_derivative_error_bound) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 4da0b7288787cedc7827e635e68b05496a858858e8771a2ee9a103c8bf515a4e - candidate record SHA-256: f027e763449790bb910939be67d7f202908098e0192c6819ae78cc327dd23d3b - semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683 - question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r02-0096.json)