# 第 28174 題：複合梯形法 [返回所在分頁 141](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/141/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r02-trapezoidal-quadrature-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r02-0099) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0055-28174 · q-20261015-pulse-20261119-r02-0099 ## 原題與已知條件 嚴格遞增partition、n+1 nodes與逐subinterval寬度。操作=trap-error-boundary；明示資料={"mode":"single_width_confusion","model":{"nodes":[0,1,26],"values":[23,47,73]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — 嚴格遞增partition、n+1 nodes與逐subinterval寬度。操作=trap-error-boundary；明示資料={"mode":"single_width_confusion","model":{"nodes":[0,1,26],"values":[23,47,73]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-trapezoidal-quadrature](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-trapezoidal-quadrature/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod50-trap-error-boundary, trap-error-boundary] 操作後 derived = [[mode, individual_widths, correct_value, wrong_single_width_value, single_width_method_claim, boundary]] 條件：無 此頁明列本題scalar／label／set／point或mode欄序，不強套現代tuple。舊題domain與operation底線格式按原資料，分數整數亦保/1；原中英快照不改。 步驟識別與依賴規則：source_answer_roles_or_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width0 := sub(1, 0) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width0 = 1 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width1 := sub(26, 1) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width1 = 25 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval0 := div(1, 2) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval0 = 1/2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval0 := sum(23, 47) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval0 = 70 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval0 := mul(1/2, 70) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval0 = 35 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Trapezoid boundary ORIGINAL, 0, 0, 1, 23, 47] 操作後 derived = [1, 1/2, 70, 35] 條件：無 用這一段的原始兩端與自己的width，乘endpoint average；width可不同、values可負，不排序或把所有段換第一段width。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_EACH_original_interval_own_width_and_aligned_endpoints · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval1 := div(25, 2) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval1 = 25/2 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval1 := sum(47, 73) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval1 = 120 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval1 := mul(25/2, 120) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval1 = 1500 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Trapezoid boundary ORIGINAL, 1, 1, 26, 47, 73] 操作後 derived = [25, 25/2, 120, 1500] 條件：無 用這一段的原始兩端與自己的width，乘endpoint average；width可不同、values可負，不排序或把所有段換第一段width。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_EACH_original_interval_own_width_and_aligned_endpoints · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total0 := sum(0, 35) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total0 = 35 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total1 := sum(35, 1500) 操作後 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total1 = 1535 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [Trapezoid boundary ORIGINAL, [0, 1, 26], [23, 47, 73]] 操作後 derived = [[0, 1, 26], [23, 47, 73], [1, 25], [35, 1500], 1535] 條件：無 完整partition須原次序strictly increasing，n段用n+1個aligned nodes/values（上界24不是vector8）。表可決定這個sum，未給full integrand時不決定唯一積分。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_COMPLETE_partition_n_intervals_nplus1_nodes_no_unique_integrand · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values sum := sum(23, 73) 操作後 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values sum = 96 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values half := div(96, 2) 操作後 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values half = 48 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL interior sum0 := sum(0, 47) 操作後 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL interior sum0 = 47 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL bracket := sum(48, 47) 操作後 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL bracket = 95 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL FIRST width times bracket := mul(1, 95) 操作後 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL FIRST width times bracket = 95 條件：無 按原始角色精確代值，不作浮點近似或換操作數；額外教學等式不另縮原題域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [[1, 25], [23, 47, 73]] 操作後 derived = [1535, 95, 否] 條件：無 至少兩種width且實算wrong不同，才證這個single-width shortcut錯；不把偶然同值或uniform partition當反例。 步驟識別與依賴規則：Trapezoid_ACTUAL_nonuniform_discriminating_first_width_error · 依賴：G001, S019 ## 逐步反向核對 - S020 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL FIRST width times bracket，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL bracket，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL interior sum0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values half，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid wrongwidth ORIGINAL end values sum，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL trapezoid running total0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL individual trapezoid interval0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL endpoint sum interval0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width over2 interval0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Trapezoid boundary ORIGINAL ORIGINAL width0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查完整來源資料、原操作數及本步條件；有限核對、條件式理由、形式證明與發布資格分開。 ## 結論 (single_width_confusion, [1, 25], 1535, 95, 否, nonuniform_partition_cannot_use_one_global_width) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 165a3551ab38898ad87cec2869bf5fb557446dc1bfd00dccebfd2092dcf6b6c9 - candidate record SHA-256: a504febcd860bc0ec7a3404b4e50cdf25f7f0968acbff419a16d7f0b7847c8dc - semantic review receipt SHA-256: 6af367dae24a584f3596525c4953bbc2115343efd68cc9083693eb5c1ef2e683 - question-first witness SHA-256: 611eb69f3716404b968296a8b0d7d8c61b5ca18129d406f1ff9c7c11e10ffb4e - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r02-0099.json)