# 第 27857 題：梯度下降 [返回所在分頁 140](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/140/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r03-gradient-descent-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r03-0007) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0054-27857 · q-20261015-pulse-20261119-r03-0007 ## 原題與已知條件 standard Euclidean coordinate order、正步長與完整gradient update。操作=gd-quadratic-gradient；明示資料={"diagonal":[1,4],"linear":[0,-3],"point":[-1,3]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — standard Euclidean coordinate order、正步長與完整gradient update。操作=gd-quadratic-gradient；明示資料={"diagonal":[1,4],"linear":[0,-3],"point":[-1,3]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-gradient-descent](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-descent/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [gd-quadratic-gradient] 操作後 derived = [[positive_diagonal, linear_coefficients, point, gradient, objective_value, coordinate_convention]] 條件：無 直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate0 := mul(1, -1) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate0 = -1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate0 := sum(-1, 0) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate0 = -1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate1 := mul(4, 3) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate1 = 12 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate1 := sum(12, -3) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate1 = 9 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 := mul(-1, -1) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate0 := mul(1, 1) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate0 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 := div(1, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 = 1/2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate0 := mul(0, -1) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate0 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum0 := sum(1/2, 0) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum0 = 1/2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum0 := sum(0, 1/2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum0 = 1/2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 := mul(3, 3) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 = 9 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate1 := mul(4, 9) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate1 = 36 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 := div(36, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 = 18 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate1 := mul(-3, 3) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate1 = -9 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum1 := sum(18, -9) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum1 = 9 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum1 := sum(1/2, 9) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum1 = 19/2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [GD ORIGINAL, [1, 4], [0, -3], [-1, 3]] 操作後 derived = [[1, 4], [0, -3], [-1, 3], [-1, 9], 19/2] 條件：無 給定完整f(x)=1/2 Σd_i x_i²+Σb_i x_i，對每座標微分得d_i x_i+b_i（不是2d_i x_i）。完整gradient先算，再按原順序算objective，square先於乘di；正di與維度、座標次序均核對。 步驟識別與依賴規則：GD_WHOLE_positive_diagonal_quadratic_ordered_gradient_and_objective · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum1，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 ## 結論 ([1, 4], [0, -3], [-1, 3], [-1, 9], 19/2, fixed_standard_Euclidean_coordinate_order) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 1d4dd4ede62e064fe0568ac2b05bef4468efd833868a25e7a3e73ed2e37dee81 - candidate record SHA-256: 904085c0528f6fe8fd45d6fd5fc746dfea4a5707de0fb663f48ea6f18f71c3cf - semantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54 - question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r03-0007.json)