# 第 27881 題：梯度下降 [返回所在分頁 140](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/140/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r03-gradient-descent-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r03-0056) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0054-27881 · q-20261015-pulse-20261119-r03-0056 ## 原題與已知條件 standard Euclidean coordinate order、正步長與完整gradient update。操作=gd-safe-quadratic-trace；明示資料={"diagonal":[3,3],"linear":[-1,3],"point":[-2,2],"step_size":[1,4],"steps":1}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — standard Euclidean coordinate order、正步長與完整gradient update。操作=gd-safe-quadratic-trace；明示資料={"diagonal":[3,3],"linear":[-1,3],"point":[-2,2],"step_size":[1,4],"steps":1}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-gradient-descent](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-descent/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [gd-safe-quadratic-trace] 操作後 derived = [[largest_diagonal_L, step_size, strict_step_upper_bound, step_count, iterate_objective_gradient_records, finite_trace_nonincreasing, unbounded_convergence_claim, finite_scope]] 條件：無 直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate0 := mul(3, -2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate0 = -6 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate0 := sum(-6, -1) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate0 = -7 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate1 := mul(3, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate1 = 6 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate1 := sum(6, 3) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate1 = 9 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 := mul(-2, -2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 = 4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate0 := mul(3, 4) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate0 = 12 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 := div(12, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 = 6 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate0 := mul(-1, -2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate0 = 2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum0 := sum(6, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum0 = 8 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum0 := sum(0, 8) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum0 = 8 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 := mul(2, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 = 4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate1 := mul(3, 4) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate1 = 12 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 := div(12, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 = 6 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate1 := mul(3, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate1 = 6 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum1 := sum(6, 6) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum1 = 12 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum1 := sum(8, 12) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum1 = 20 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [GD ORIGINAL, [3, 3], [-1, 3], [-2, 2]] 操作後 derived = [[3, 3], [-1, 3], [-2, 2], [-7, 9], 20] 條件：無 給定完整f(x)=1/2 Σd_i x_i²+Σb_i x_i，對每座標微分得d_i x_i+b_i（不是2d_i x_i）。完整gradient先算，再按原順序算objective，square先於乘di；正di與維度、座標次序均核對。 步驟識別與依賴規則：GD_WHOLE_positive_diagonal_quadratic_ordered_gradient_and_objective · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL2 over largest diagonal := div(2, 3) 操作後 GD safe ORIGINAL2 over largest diagonal = 2/3 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL alpha times gradient0 := mul(1/4, -7) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL alpha times gradient0 = -7/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL next coordinate0 := sub(-2, -7/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL next coordinate0 = -1/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL alpha times gradient1 := mul(1/4, 9) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL alpha times gradient1 = 9/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL next coordinate1 := sub(2, 9/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL next coordinate1 = -1/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate0 := mul(3, -1/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate0 = -3/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate0 := sum(-3/4, -1) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate0 = -7/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate1 := mul(3, -1/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate1 = -3/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate1 := sum(-3/4, 3) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate1 = 9/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 := mul(-1/4, -1/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 = 1/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate0 := mul(3, 1/16) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate0 = 3/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 := div(3/16, 2) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 = 3/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate0 := mul(-1, -1/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate0 = 1/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum0 := sum(3/32, 1/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum0 = 11/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum0 := sum(0, 11/32) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum0 = 11/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 := mul(-1/4, -1/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 = 1/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate1 := mul(3, 1/16) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate1 = 3/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 := div(3/16, 2) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 = 3/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate1 := mul(3, -1/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate1 = -3/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum1 := sum(3/32, -3/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum1 = -21/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum1 := sum(11/32, -21/32) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum1 = -5/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 source roles = [GD safe ORIGINAL step1 next recomputation, [[3, 1], [3, 1]], [[-1, 1], [3, 1]], [[-1, 4], [-1, 4]]] 操作後 derived = [[3, 3], [-1, 3], [-1/4, -1/4], [-7/4, 9/4], -5/16] 條件：無 給定完整f(x)=1/2 Σd_i x_i²+Σb_i x_i，對每座標微分得d_i x_i+b_i（不是2d_i x_i）。完整gradient先算，再按原順序算objective，square先於乘di；正di與維度、座標次序均核對。 步驟識別與依賴規則：GD_WHOLE_positive_diagonal_quadratic_ordered_gradient_and_objective · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 source roles = [[3, 3], 1/4, 3, 2/3, 1] 操作後 derived = [f(x-alpha*g)-f(x)=-alpha*sum_i(1-alpha*d_i/2)*g_i^2, [[0, [-2, 2], 20, [-7, 9]], [1, [-1/4, -1/4], -5/16, [-7/4, 9/4]]], 是, 否] 條件：無 直接展開完整quadratic得差式；0