# 第 27891 題：梯度下降 [返回所在分頁 140](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/140/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r03-gradient-descent-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r03-0066) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0054-27891 · q-20261015-pulse-20261119-r03-0066 ## 原題與已知條件 standard Euclidean coordinate order、正步長與完整gradient update。操作=gd-safe-quadratic-trace；明示資料={"diagonal":[1,5],"linear":[-1,-1],"point":[-2,-2],"step_size":[1,4],"steps":1}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — standard Euclidean coordinate order、正步長與完整gradient update。操作=gd-safe-quadratic-trace；明示資料={"diagonal":[1,5],"linear":[-1,-1],"point":[-2,-2],"step_size":[1,4],"steps":1}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-gradient-descent](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-descent/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [gd-safe-quadratic-trace] 操作後 derived = [[largest_diagonal_L, step_size, strict_step_upper_bound, step_count, iterate_objective_gradient_records, finite_trace_nonincreasing, unbounded_convergence_claim, finite_scope]] 條件：無 直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate0 := mul(1, -2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate0 = -2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate0 := sum(-2, -1) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate0 = -3 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate1 := mul(5, -2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate1 = -10 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate1 := sum(-10, -1) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate1 = -11 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 := mul(-2, -2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 = 4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate0 := mul(1, 4) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate0 = 4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 := div(4, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 = 2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate0 := mul(-1, -2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate0 = 2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum0 := sum(2, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum0 = 4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum0 := sum(0, 4) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum0 = 4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 := mul(-2, -2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 = 4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate1 := mul(5, 4) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate1 = 20 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 := div(20, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 = 10 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate1 := mul(-1, -2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate1 = 2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum1 := sum(10, 2) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum1 = 12 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum1 := sum(4, 12) 操作後 GD ORIGINAL ORIGINAL objective running sum1 = 16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [GD ORIGINAL, [1, 5], [-1, -1], [-2, -2]] 操作後 derived = [[1, 5], [-1, -1], [-2, -2], [-3, -11], 16] 條件：無 給定完整f(x)=1/2 Σd_i x_i²+Σb_i x_i，對每座標微分得d_i x_i+b_i（不是2d_i x_i）。完整gradient先算，再按原順序算objective，square先於乘di；正di與維度、座標次序均核對。 步驟識別與依賴規則：GD_WHOLE_positive_diagonal_quadratic_ordered_gradient_and_objective · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL2 over largest diagonal := div(2, 5) 操作後 GD safe ORIGINAL2 over largest diagonal = 2/5 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL alpha times gradient0 := mul(1/4, -3) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL alpha times gradient0 = -3/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL next coordinate0 := sub(-2, -3/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL next coordinate0 = -5/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL alpha times gradient1 := mul(1/4, -11) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL alpha times gradient1 = -11/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL next coordinate1 := sub(-2, -11/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 ORIGINAL next coordinate1 = 3/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate0 := mul(1, -5/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate0 = -5/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate0 := sum(-5/4, -1) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate0 = -9/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate1 := mul(5, 3/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate1 = 15/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate1 := sum(15/4, -1) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate1 = 11/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 := mul(-5/4, -5/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 = 25/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate0 := mul(1, 25/16) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate0 = 25/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 := div(25/16, 2) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 = 25/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate0 := mul(-1, -5/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate0 = 5/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum0 := sum(25/32, 5/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum0 = 65/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum0 := sum(0, 65/32) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum0 = 65/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 := mul(3/4, 3/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 = 9/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate1 := mul(5, 9/16) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate1 = 45/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 := div(45/16, 2) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 = 45/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate1 := mul(-1, 3/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate1 = -3/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum1 := sum(45/32, -3/4) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum1 = 21/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum1 := sum(65/32, 21/32) 操作後 GD safe ORIGINAL step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum1 = 43/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 source roles = [GD safe ORIGINAL step1 next recomputation, [[1, 1], [5, 1]], [[-1, 1], [-1, 1]], [[-5, 4], [3, 4]]] 操作後 derived = [[1, 5], [-1, -1], [-5/4, 3/4], [-9/4, 11/4], 43/16] 條件：無 給定完整f(x)=1/2 Σd_i x_i²+Σb_i x_i，對每座標微分得d_i x_i+b_i（不是2d_i x_i）。完整gradient先算，再按原順序算objective，square先於乘di；正di與維度、座標次序均核對。 步驟識別與依賴規則：GD_WHOLE_positive_diagonal_quadratic_ordered_gradient_and_objective · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 source roles = [[1, 5], 1/4, 5, 2/5, 1] 操作後 derived = [f(x-alpha*g)-f(x)=-alpha*sum_i(1-alpha*d_i/2)*g_i^2, [[0, [-2, -2], 16, [-3, -11]], [1, [-5/4, 3/4], 43/16, [-9/4, 11/4]]], 是, 否] 條件：無 直接展開完整quadratic得差式；0