# 第 27815 題：梯度下降 [返回所在分頁 140](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/140/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r03-gradient-descent-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r03-0090) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0054-27815 · q-20261015-pulse-20261119-r03-0090 ## 原題與已知條件 standard Euclidean coordinate order、正步長與完整gradient update。操作=gd-boundary；明示資料={"mode":"finite_trace_only","model":{"diagonal":[1,2],"linear":[14,-14],"point":[15,1],"step_size":[1,4],"steps":1}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — standard Euclidean coordinate order、正步長與完整gradient update。操作=gd-boundary；明示資料={"mode":"finite_trace_only","model":{"diagonal":[1,2],"linear":[14,-14],"point":[15,1],"step_size":[1,4],"steps":1}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-gradient-descent](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-descent/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [gd-boundary] 操作後 derived = [[mode, step_count, iterate_objective_records, convergence_or_global_optimality_claim, boundary]] 條件：無 直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate0 := mul(1, 15) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate0 = 15 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate0 := sum(15, 14) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate0 = 29 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate1 := mul(2, 1) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate1 = 2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate1 := sum(2, -14) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate1 = -12 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 := mul(15, 15) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 = 225 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate0 := mul(1, 225) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate0 = 225 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 := div(225, 2) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 = 225/2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate0 := mul(14, 15) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate0 = 210 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum0 := sum(225/2, 210) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum0 = 645/2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective running sum0 := sum(0, 645/2) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective running sum0 = 645/2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 := mul(1, 1) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate1 := mul(2, 1) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate1 = 2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 := div(2, 2) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate1 := mul(-14, 1) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate1 = -14 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum1 := sum(1, -14) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum1 = -13 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective running sum1 := sum(645/2, -13) 操作後 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective running sum1 = 619/2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 source roles = [GD boundary ORIGINAL, [1, 2], [14, -14], [15, 1]] 操作後 derived = [[1, 2], [14, -14], [15, 1], [29, -12], 619/2] 條件：無 給定完整f(x)=1/2 Σd_i x_i²+Σb_i x_i，對每座標微分得d_i x_i+b_i（不是2d_i x_i）。完整gradient先算，再按原順序算objective，square先於乘di；正di與維度、座標次序均核對。 步驟識別與依賴規則：GD_WHOLE_positive_diagonal_quadratic_ordered_gradient_and_objective · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 GD boundary step1 ORIGINAL alpha times gradient0 := mul(1/4, 29) 操作後 GD boundary step1 ORIGINAL alpha times gradient0 = 29/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 GD boundary step1 ORIGINAL next coordinate0 := sub(15, 29/4) 操作後 GD boundary step1 ORIGINAL next coordinate0 = 31/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 GD boundary step1 ORIGINAL alpha times gradient1 := mul(1/4, -12) 操作後 GD boundary step1 ORIGINAL alpha times gradient1 = -3 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 GD boundary step1 ORIGINAL next coordinate1 := sub(1, -3) 操作後 GD boundary step1 ORIGINAL next coordinate1 = 4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate0 := mul(1, 31/4) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate0 = 31/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate0 := sum(31/4, 14) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate0 = 87/4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate1 := mul(2, 4) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate1 = 8 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate1 := sum(8, -14) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate1 = -6 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 := mul(31/4, 31/4) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0 = 961/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate0 := mul(1, 961/16) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate0 = 961/16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 := div(961/16, 2) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0 = 961/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate0 := mul(14, 31/4) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate0 = 217/2 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum0 := sum(961/32, 217/2) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum0 = 4433/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum0 := sum(0, 4433/32) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum0 = 4433/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 := mul(4, 4) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1 = 16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate1 := mul(2, 16) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate1 = 32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 := div(32, 2) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1 = 16 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate1 := mul(-14, 4) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate1 = -56 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum1 := sum(16, -56) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum1 = -40 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum1 := sum(4433/32, -40) 操作後 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum1 = 3153/32 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 source roles = [GD boundary step1 next recomputation, [[1, 1], [2, 1]], [[14, 1], [-14, 1]], [[31, 4], [4, 1]]] 操作後 derived = [[1, 2], [14, -14], [31/4, 4], [87/4, -6], 3153/32] 條件：無 給定完整f(x)=1/2 Σd_i x_i²+Σb_i x_i，對每座標微分得d_i x_i+b_i（不是2d_i x_i）。完整gradient先算，再按原順序算objective，square先於乘di；正di與維度、座標次序均核對。 步驟識別與依賴規則：GD_WHOLE_positive_diagonal_quadratic_ordered_gradient_and_objective · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 source roles = [1/4, 1] 操作後 derived = [[[0, [15, 1], 619/2], [1, [31/4, 4], 3153/32]], 否] 條件：無 此mode只要求alpha>0，不擅加safe範圍，保初點與每個更新後objective。有限trace即使下降或上升，均不構成一般收斂／全域最優證書。 步驟識別與依賴規則：GD_finite_trace_ONLY_positive_not_safe_no_limit_claim · 依賴：G001, S039 ## 逐步反向核對 - S040 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S039 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum1，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum1，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate1，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate1，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective running sum0，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL coordinate objective sum0，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL linear product coordinate0，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL diagonal times square coordinate0，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate1，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient plus b coordinate0，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 next recomputation ORIGINAL gradient d*x coordinate0，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 ORIGINAL next coordinate1，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 ORIGINAL alpha times gradient1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 ORIGINAL next coordinate0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary step1 ORIGINAL alpha times gradient0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective running sum1，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate1，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective running sum0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL coordinate objective sum0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL linear product coordinate0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL quadratic divide2 coordinate0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL diagonal times square coordinate0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL objective SQUARE FIRST coordinate0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient plus b coordinate0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL ORIGINAL gradient d*x coordinate0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 ## 結論 (finite_trace_only, 1, [[0, [15, 1], 619/2], [1, [31/4, 4], 3153/32]], 否, finite_trace_does_not_prove_convergence_or_global_optimality) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f63019781111f8a82499ed0cbbf000df8a6af959ce9616b6e414426b7ceb7686 - candidate record SHA-256: 38e6fa2f4f21c82d2ac57c3713cec5c24dfe5ce4c26b01994cf54fcee258eb89 - semantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54 - question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r03-0090.json)