# 第 27975 題：Lagrange乘子條件 [返回所在分頁 140](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/140/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r04-lagrange-multiplier-condition-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r04-0025) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0054-27975 · q-20261015-pulse-20261119-r04-0025 ## 原題與已知條件 feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,25]]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-regularity-audit；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,25]]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-lagrange-multiplier-condition](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lagrange-multiplier-condition/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [lagrange-regularity-audit] 操作後 derived = [[constraint_gradient_rows, constraint_count, dimension, rank, full_row_rank, regularity_definition]] 條件：無 直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0 := div(1, 1) 操作後 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1 := div(0, 1) 操作後 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [Lagrange ORIGINAL, 0, 0, 0, [[1, 0], [0, 25]], 1] 操作後 derived = [[[1, 0], [0, 25]]] 條件：無 依原first-nonzero次序換row，pivot非0才除；完整row逐格normalize，逆操作乘回pivot，故保持row rank。所有來源1e8未約分中間量仍須合格。 步驟識別與依賴規則：Lagrange_rank_FIRST_nonzero_pivot_full_row_normalization · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col0 := div(0, 25) 操作後 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col0 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col1 := div(25, 25) 操作後 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col1 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Lagrange ORIGINAL, 1, 1, 1, [[1, 0], [0, 25]], 25] 操作後 derived = [[[1, 0], [0, 1]]] 條件：無 依原first-nonzero次序換row，pivot非0才除；完整row逐格normalize，逆操作乘回pivot，故保持row rank。所有來源1e8未約分中間量仍須合格。 步驟識別與依賴規則：Lagrange_rank_FIRST_nonzero_pivot_full_row_normalization · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [Lagrange ORIGINAL, [[1, 0], [0, 25]]] 操作後 derived = [[[1, 0], [0, 1]], [[0, 0], [1, 1]], 2] 條件：無 每個pivot row有不同leading1所以獨立；其餘row為0且row operations可逆，因此pivot數等於原row rank。原始constraint rows另保留，不拿RREF rows替換J_g與lambda配對。 步驟識別與依賴規則：Lagrange_rank_RREF_pivots_equal_row_rank_original_rows_retained · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [[[1, 0], [0, 25]]] 操作後 derived = [2, 2, 2, 是] 條件：無 這只是給定gradient rows的代數rank資格；沒有函數與point資料就不能獨立驗可微、feasible或extremum。full row rank比較約束數，不是ambient dimension。 步驟識別與依賴規則：Lagrange_supplied_vector_rank_ONLY_no_unprovided_functions_or_feasibility · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S008 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S007 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 ## 結論 ([[1, 0], [0, 25]], 2, 2, 2, 是, full_row_rank_means_constraint_gradients_are_linearly_independent) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e88bffa85da69b98e928a7cc7ef987ef5bb78a78e4c19408ef9ed03d05f48f5a - candidate record SHA-256: 3b2185ce3c451f274eefde420b48d7cb1c956e5f94a3ebfe58df51e69e250b77 - semantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54 - question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r04-0025.json)