# 第 27943 題：Lagrange乘子條件 [返回所在分頁 140](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/140/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r04-lagrange-multiplier-condition-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r04-0043) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0054-27943 · q-20261015-pulse-20261119-r04-0043 ## 原題與已知條件 feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[18,36],"objective_gradient":[18,36]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-multiplier-residual；明示資料={"constraint_gradients":[[1,0],[0,1]],"multipliers":[18,36],"objective_gradient":[18,36]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-lagrange-multiplier-condition](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lagrange-multiplier-condition/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [lagrange-multiplier-residual] 操作後 derived = [[objective_gradient, constraint_gradient_rows, multipliers, gradient_combination, stationarity_residual, equation_holds, sign_convention]] 條件：無 直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0 := div(1, 1) 操作後 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1 := div(0, 1) 操作後 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [Lagrange ORIGINAL, 0, 0, 0, [[1, 0], [0, 1]], 1] 操作後 derived = [[[1, 0], [0, 1]]] 條件：無 依原first-nonzero次序換row，pivot非0才除；完整row逐格normalize，逆操作乘回pivot，故保持row rank。所有來源1e8未約分中間量仍須合格。 步驟識別與依賴規則：Lagrange_rank_FIRST_nonzero_pivot_full_row_normalization · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col0 := div(0, 1) 操作後 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col0 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col1 := div(1, 1) 操作後 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col1 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [Lagrange ORIGINAL, 1, 1, 1, [[1, 0], [0, 1]], 1] 操作後 derived = [[[1, 0], [0, 1]]] 條件：無 依原first-nonzero次序換row，pivot非0才除；完整row逐格normalize，逆操作乘回pivot，故保持row rank。所有來源1e8未約分中間量仍須合格。 步驟識別與依賴規則：Lagrange_rank_FIRST_nonzero_pivot_full_row_normalization · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [Lagrange ORIGINAL, [[1, 0], [0, 1]]] 操作後 derived = [[[1, 0], [0, 1]], [[0, 0], [1, 1]], 2] 條件：無 每個pivot row有不同leading1所以獨立；其餘row為0且row operations可逆，因此pivot數等於原row rank。原始constraint rows另保留，不拿RREF rows替換J_g與lambda配對。 步驟識別與依賴規則：Lagrange_rank_RREF_pivots_equal_row_rank_original_rows_retained · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product0 := mul(1, 18) 操作後 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product0 = 18 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum0 := sum(0, 18) 操作後 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum0 = 18 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product1 := mul(0, 36) 操作後 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product1 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum1 := sum(18, 0) 操作後 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum1 = 18 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product0 := mul(0, 18) 操作後 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product0 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum0 := sum(0, 0) 操作後 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum0 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product1 := mul(1, 36) 操作後 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product1 = 36 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum1 := sum(0, 36) 操作後 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum1 = 36 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL residual coordinate0 := sub(18, 18) 操作後 Lagrange ORIGINAL residual coordinate0 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Lagrange ORIGINAL residual coordinate1 := sub(36, 36) 操作後 Lagrange ORIGINAL residual coordinate1 = 0 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [[18, 36], [[1, 0], [0, 1]], [18, 36]] 操作後 derived = [[18, 36], [0, 0], 是] 條件：無 按原row與lambda配對計J_g^T lambda，convention是grad f等於此combination，不私改正負號。所有residual0才stationary；給定vectors不證missing feasibility、可微性或minimum。 步驟識別與依賴規則：Lagrange_ORIGINAL_row_lambda_alignment_POS_sign_complete_residual · 依賴：G001, S018 ## 逐步反向核對 - S019 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL residual coordinate1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL residual coordinate0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL running sum0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate1 ORIGINAL product0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL running sum0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL transpose combination coordinate0 ORIGINAL product0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S007 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col1，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row1 col0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col1，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange ORIGINAL ORIGINAL normalize row0 col0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 ## 結論 ([18, 36], [[1, 0], [0, 1]], [18, 36], [18, 36], [0, 0], 是, convention_grad_f_equals_J_g_transpose_lambda) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8780d2bd65ac8f2caa9fd05d493d51817e26a5c9b2e2d3958e0b1a57b297226d - candidate record SHA-256: c28fb3aa4fd0566ab2ea2c4a236df0712c1fa038de238a6a2cadbd456bb6cf47 - semantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54 - question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r04-0043.json)