# 第 28000 題：Lagrange乘子條件 [返回所在分頁 140](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/140/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r04-lagrange-multiplier-condition-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r04-0075) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0054-28000 · q-20261015-pulse-20261119-r04-0075 ## 原題與已知條件 feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[4,3],"constraint_gradient":[1,25],"constraint_rhs":27}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — feasibility、constraint-gradient full row rank與grad_f=J_g^T*lambda convention。操作=lagrange-single-linear-constraint；明示資料={"center":[4,3],"constraint_gradient":[1,25],"constraint_rhs":27}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-lagrange-multiplier-condition](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-lagrange-multiplier-condition/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [lagrange-single-linear-constraint] 操作後 derived = [[center, constraint_gradient, constraint_rhs, normal_displacement_coefficient, solution_point, multiplier, objective_gradient, feasible, stationary, specified_problem_scope]] 條件：無 直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL product0 := mul(1, 1) 操作後 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL product0 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL running sum0 := sum(0, 1) 操作後 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL running sum0 = 1 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL product1 := mul(25, 25) 操作後 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL product1 = 625 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL running sum1 := sum(1, 625) 操作後 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL running sum1 = 626 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL product0 := mul(1, 4) 操作後 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL product0 = 4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL running sum0 := sum(0, 4) 操作後 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL running sum0 = 4 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL product1 := mul(25, 3) 操作後 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL product1 = 75 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL running sum1 := sum(4, 75) 操作後 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL running sum1 = 79 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL rhs minus center value := sub(27, 79) 操作後 Lagrange single ORIGINAL rhs minus center value = -52 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL normal displacement := div(-52, 626) 操作後 Lagrange single ORIGINAL normal displacement = -26/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL normal shift0 := mul(-26/313, 1) 操作後 Lagrange single ORIGINAL normal shift0 = -26/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL solution coordinate0 := sum(4, -26/313) 操作後 Lagrange single ORIGINAL solution coordinate0 = 1226/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL normal shift1 := mul(-26/313, 25) 操作後 Lagrange single ORIGINAL normal shift1 = -650/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL solution coordinate1 := sum(3, -650/313) 操作後 Lagrange single ORIGINAL solution coordinate1 = 289/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL multiplier2tau := mul(2, -26/313) 操作後 Lagrange single ORIGINAL multiplier2tau = -52/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL displacement coordinate0 := sub(1226/313, 4) 操作後 Lagrange single ORIGINAL displacement coordinate0 = -26/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL objective gradient0 := mul(2, -26/313) 操作後 Lagrange single ORIGINAL objective gradient0 = -52/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL displacement coordinate1 := sub(289/313, 3) 操作後 Lagrange single ORIGINAL displacement coordinate1 = -650/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL objective gradient1 := mul(2, -650/313) 操作後 Lagrange single ORIGINAL objective gradient1 = -1300/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL product0 := mul(1, 1226/313) 操作後 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL product0 = 1226/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL running sum0 := sum(0, 1226/313) 操作後 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL running sum0 = 1226/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL product1 := mul(25, 289/313) 操作後 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL product1 = 7225/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL running sum1 := sum(1226/313, 7225/313) 操作後 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL running sum1 = 27 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL lambda times normal0 := mul(-52/313, 1) 操作後 Lagrange single ORIGINAL lambda times normal0 = -52/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Lagrange single ORIGINAL lambda times normal1 := mul(-52/313, 25) 操作後 Lagrange single ORIGINAL lambda times normal1 = -1300/313 條件：無 以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 source roles = [[4, 3], [1, 25], 27, 626, 79, -26/313, [1226/313, 289/313], -52/313, [-52/313, -1300/313]] 操作後 derived = [是, 是, ANY feasible y=x+v has a dot v=0;f(y)=f(x)+norm(v)^2] 條件：無 normal非0使norm²>0，tau解a·(c+tau a)=rhs；objective是平方距離無1/2，所以gradient與lambda含2。任意可行y=x+v，cross term=2tau(a·v)=0，差為||v||²>=0，故本指定問題有唯一minimum；不外推任意multiplier方程充分。 步驟識別與依賴規則：Lagrange_specified_squared_distance_complete_orthogonality_certificate · 依賴：G001, S026 ## 逐步反向核對 - S027 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL lambda times normal1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL lambda times normal0，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL running sum1，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL product1，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL running sum0，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL full feasibility ORIGINAL product0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL objective gradient1，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL displacement coordinate1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL objective gradient0，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL displacement coordinate0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL multiplier2tau，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL solution coordinate1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL normal shift1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL solution coordinate0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL normal shift0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL normal displacement，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL rhs minus center value，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL running sum1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL product1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL running sum0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL normal dot center ORIGINAL product0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL running sum1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL product1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL running sum0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Lagrange single ORIGINAL normal squared norm ORIGINAL product0，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。 ## 結論 ([4, 3], [1, 25], 27, -26/313, [1226/313, 289/313], -52/313, [-52/313, -1300/313], 是, 是, squared_distance_with_one_regular_linear_constraint_solved_exactly) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: a0f30589adaf7b383e5b7d282732aadcddd504ffc145b2c2f5475a16f26da7a5 - candidate record SHA-256: 81330f0347f6edee44b9017d98f6d48a01074f2ac6ba5fb99ce5a21f0d8e53e0 - semantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54 - question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r04-0075.json)