# 第 33954 題：數值近似誤差 [返回所在分頁 170](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/170/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r05-numerical-approximation-error-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r05-0004) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0066-33954 · q-20261015-pulse-20261119-r05-0004 ## 原題與已知條件 exact residual、forward error、conditioning與tolerance convention。操作=numerr-affine-residual-forward；明示資料={"approximation":-1,"intercept":4,"slope":2}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — exact residual、forward error、conditioning與tolerance convention。操作=numerr-affine-residual-forward；明示資料={"approximation":-1,"intercept":4,"slope":2}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-numerical-approximation-error](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-numerical-approximation-error/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod50-numerr-affine-residual-forward, [approximation, domain, intercept, operation, slope]] 操作後 derived = [numerr-affine-residual-forward, Exact_numerical_error_density] 條件：無 原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。 步驟識別與依賴規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [error ORIGINAL slope, 100000000, 2, 1] 操作後 derived = [[2, 1], 2] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 error ORIGINAL slope ORIGINAL numerator over denominator := div(2, 1) 操作後 error ORIGINAL slope ORIGINAL numerator over denominator = 2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [error ORIGINAL intercept, 100000000, 4, 1] 操作後 derived = [[4, 1], 4] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 error ORIGINAL intercept ORIGINAL numerator over denominator := div(4, 1) 操作後 error ORIGINAL intercept ORIGINAL numerator over denominator = 4 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [error ORIGINAL approximation, 100000000, -1, 1] 操作後 derived = [[-1, 1], -1] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 error ORIGINAL approximation ORIGINAL numerator over denominator := div(-1, 1) 操作後 error ORIGINAL approximation ORIGINAL numerator over denominator = -1 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [Affine exact root SOURCE naive div, 100000000, -4, 2] 操作後 derived = [[-2, 1], -2] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Affine exact root SOURCE naive div ORIGINAL numerator over denominator := div(-4, 2) 操作後 Affine exact root SOURCE naive div ORIGINAL numerator over denominator = -2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Affine exact root ORIGINAL rational div := div(-4, 2) 操作後 Affine exact root ORIGINAL rational div = -2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [Affine residual original slope times approximation SOURCE naive mul, 100000000, -2, 1] 操作後 derived = [[-2, 1], -2] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Affine residual original slope times approximation SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator := div(-2, 1) 操作後 Affine residual original slope times approximation SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator = -2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Affine residual original slope times approximation ORIGINAL rational mul := mul(2, -1) 操作後 Affine residual original slope times approximation ORIGINAL rational mul = -2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [Affine residual add original intercept SOURCE naive sum, 100000000, 2, 1] 操作後 derived = [[2, 1], 2] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Affine residual add original intercept SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator := div(2, 1) 操作後 Affine residual add original intercept SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator = 2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Affine residual add original intercept ORIGINAL rational sum := sum(-2, 4) 操作後 Affine residual add original intercept ORIGINAL rational sum = 2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [Affine forward original approximation minus exact root SOURCE naive sub, 100000000, 1, 1] 操作後 derived = [[1, 1], 1] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Affine forward original approximation minus exact root SOURCE naive sub ORIGINAL numerator over denominator := div(1, 1) 操作後 Affine forward original approximation minus exact root SOURCE naive sub ORIGINAL numerator over denominator = 1 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Affine forward original approximation minus exact root ORIGINAL rational sub := sub(-1, -2) 操作後 Affine forward original approximation minus exact root ORIGINAL rational sub = 1 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 source roles = [Affine absolute slope times forward error SOURCE naive mul, 100000000, 2, 1] 操作後 derived = [[2, 1], 2] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Affine absolute slope times forward error SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator := div(2, 1) 操作後 Affine absolute slope times forward error SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator = 2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Affine absolute slope times forward error ORIGINAL rational mul := mul(2, 1) 操作後 Affine absolute slope times forward error ORIGINAL rational mul = 2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 source roles = [2, 4, -1] 操作後 derived = [-2, 2, 2, 1, 1, 2, 是] 條件：無 m非0先求真root=−b/m；分別計算|m*xhat+b|與|xhat−root|。因m*root+b=0，residual=|m|*forward。數值有時相同也不表示兩量的定義相同；原model才供應真root。 步驟識別與依賴規則：Error_AFFINE_exact_root_residual_forward_scale_identity · 依賴：G001, S022 ## 逐步反向核對 - S023 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine absolute slope times forward error ORIGINAL rational mul，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine absolute slope times forward error SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine forward original approximation minus exact root ORIGINAL rational sub，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine forward original approximation minus exact root SOURCE naive sub ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine residual add original intercept ORIGINAL rational sum，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine residual add original intercept SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine residual original slope times approximation ORIGINAL rational mul，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine residual original slope times approximation SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine exact root ORIGINAL rational div，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Affine exact root SOURCE naive div ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 error ORIGINAL approximation ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 error ORIGINAL intercept ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 error ORIGINAL slope ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 ## 結論 (2, 4, -1, -2, 2, 1, 2, 是, residual_and_forward_error_are_distinct_quantities) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: d2cf443605518a3de15be51380c5d419fcbaf4d1b02e780ae9ac34d3941aa782 - candidate record SHA-256: f9c6103b1e7c9a186a329ff4c942175d1e9388aa11338c992f5f3efc8f5a3ea7 - semantic review receipt SHA-256: 99b4f114b2ec93164b6aa5681e0107033a240e7a3f0a8988633ba65320ede267 - question-first witness SHA-256: d9bd3a1940da8a73f790ee3fe460c9a8523791bdbe72c8e0304e3740b66710cc - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r05-0004.json)