# 第 34002 題：數值近似誤差 [返回所在分頁 171](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/171/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r05-numerical-approximation-error-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r05-0052) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0067-34002 · q-20261015-pulse-20261119-r05-0052 ## 原題與已知條件 exact residual、forward error、conditioning與tolerance convention。操作=numerr-conditioning-witness；明示資料={"residual":2,"slope_a":1,"slope_b":3}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — exact residual、forward error、conditioning與tolerance convention。操作=numerr-conditioning-witness；明示資料={"residual":2,"slope_a":1,"slope_b":3}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-numerical-approximation-error](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-numerical-approximation-error/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod50-numerr-conditioning-witness, [domain, operation, residual, slope_a, slope_b]] 操作後 derived = [numerr-conditioning-witness, Exact_numerical_error_density] 條件：無 按本bank核keys與operation/domain：legacy為各表underscore，MOD50用local hyphen；BASE參數較寬不加未知欄限制。Number.isInteger與SAFE兩種來源界分開，原JSON數字表示仍完整保存。 步驟識別與依賴規則：R67_SOURCE_specific_keys_operation_domain_and_numeric_bank · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [conditioning ORIGINAL residual, 2, 1] 操作後 derived = [[2, 1], 2] 條件：無 MOD50先驗原num/den各±1億與非零den，之後才約分；不能先cross-cancel以規避此來源界。超界是SOURCE切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：Conditioning_SOURCE_naive_PREreduction_1e8_then_sign_gcd · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 conditioning ORIGINAL residual ORIGINAL numerator over nonzero denominator := div(2, 1) 操作後 conditioning ORIGINAL residual ORIGINAL numerator over nonzero denominator = 2 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [conditioning ORIGINAL slope A, 1, 1] 操作後 derived = [[1, 1], 1] 條件：無 MOD50先驗原num/den各±1億與非零den，之後才約分；不能先cross-cancel以規避此來源界。超界是SOURCE切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：Conditioning_SOURCE_naive_PREreduction_1e8_then_sign_gcd · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 conditioning ORIGINAL slope A ORIGINAL numerator over nonzero denominator := div(1, 1) 操作後 conditioning ORIGINAL slope A ORIGINAL numerator over nonzero denominator = 1 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [conditioning ORIGINAL slope B, 3, 1] 操作後 derived = [[3, 1], 3] 條件：無 MOD50先驗原num/den各±1億與非零den，之後才約分；不能先cross-cancel以規避此來源界。超界是SOURCE切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：Conditioning_SOURCE_naive_PREreduction_1e8_then_sign_gcd · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 conditioning ORIGINAL slope B ORIGINAL numerator over nonzero denominator := div(3, 1) 操作後 conditioning ORIGINAL slope B ORIGINAL numerator over nonzero denominator = 3 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 source roles = [A, 1] 操作後 derived = [1, 是] 條件：無 先驗斜率非零再取abs，正residual對不同abs slopes才是辨別兩種forward errors的有效例；不能拿兩個相反但同絕對值斜率當此反例。 步驟識別與依賴規則：Conditioning_NONzero_absolute_slope_before_division · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [conditioning error A SOURCE naive division, 2, 1] 操作後 derived = [[2, 1], 2] 條件：無 MOD50先驗原num/den各±1億與非零den，之後才約分；不能先cross-cancel以規避此來源界。超界是SOURCE切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：Conditioning_SOURCE_naive_PREreduction_1e8_then_sign_gcd · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 conditioning error A SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator := div(2, 1) 操作後 conditioning error A SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator = 2 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 conditioning error A ORIGINAL residual divided by absolute slope := div(2, 1) 操作後 conditioning error A ORIGINAL residual divided by absolute slope = 2 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [B, 3] 操作後 derived = [3, 是] 條件：無 先驗斜率非零再取abs，正residual對不同abs slopes才是辨別兩種forward errors的有效例；不能拿兩個相反但同絕對值斜率當此反例。 步驟識別與依賴規則：Conditioning_NONzero_absolute_slope_before_division · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 source roles = [conditioning error B SOURCE naive division, 2, 3] 操作後 derived = [[2, 3], 2/3] 條件：無 MOD50先驗原num/den各±1億與非零den，之後才約分；不能先cross-cancel以規避此來源界。超界是SOURCE切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：Conditioning_SOURCE_naive_PREreduction_1e8_then_sign_gcd · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 conditioning error B SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator := div(2, 3) 操作後 conditioning error B SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator = 2/3 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 conditioning error B ORIGINAL residual divided by absolute slope := div(2, 3) 操作後 conditioning error B ORIGINAL residual divided by absolute slope = 2/3 條件：無 依原操作數與原次序精確計算；legacy衍生整數不重套raw SAFE界，MOD50有理數則另保naive pre-reduction來源界。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [2, 1, 3] 操作後 derived = [2, 2/3, 是] 條件：無 affine模型由residual=abs(slope)*forward得forward=residual/abs(slope)。相同正residual可有不同forward error，因model尺度不同；這個例不提供任意問題的condition number理論或收斂證書。 步驟識別與依賴規則：Conditioning_SAME_positive_residual_DIFFERENT_affine_forward_errors · 依賴：G001, S015 ## 逐步反向核對 - S016 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning error B ORIGINAL residual divided by absolute slope，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning error B SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S012 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning error A ORIGINAL residual divided by absolute slope，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning error A SOURCE naive division ORIGINAL numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S008 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning ORIGINAL slope B ORIGINAL numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning ORIGINAL slope A ORIGINAL numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditioning ORIGINAL residual ORIGINAL numerator over nonzero denominator，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 - S001 · premise_and_result_audit — 以本題原始角色、完整前提及欄序反查本步；區分單向推論與等價，並保留原題與英文、MKO、AST及審查狀態。不把有限核對冒充獨立審查或一般形式證明。 ## 結論 (2, 1, 2, 3, 2/3, 是, same_residual_can_have_different_forward_error_under_different_conditioning) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: ebc7051d44ad4467b126cec5f57c820c6e2c68a331e87d26e90ffe7d59ca5445 - candidate record SHA-256: b2ffea50d2ed8047ee04469b56f2c2a728d7ca098939efcbc1da689e82bdb9fe - semantic review receipt SHA-256: c89efa383b67bb2cf25bcf16160b9f5f614bbe5e5e791f4d7f58234d17a3371c - question-first witness SHA-256: 12766d451c5375842b4fc2843ae94807ec55f15763a916558026912a13873d57 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r05-0052.json)