# 第 33990 題：數值近似誤差 [返回所在分頁 170](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/170/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r05-numerical-approximation-error-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r05-0090) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0066-33990 · q-20261015-pulse-20261119-r05-0090 ## 原題與已知條件 exact residual、forward error、conditioning與tolerance convention。操作=numerr-boundary；明示資料={"mode":"strict_tolerance","model":{"error":[15,2],"tolerance":[15,2]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — exact residual、forward error、conditioning與tolerance convention。操作=numerr-boundary；明示資料={"mode":"strict_tolerance","model":{"error":[15,2],"tolerance":[15,2]}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-numerical-approximation-error](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-numerical-approximation-error/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod50-numerr-boundary, [domain, mode, model, operation]] 操作後 derived = [numerr-boundary, Exact_numerical_error_density] 條件：無 原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。 步驟識別與依賴規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [tolerance ORIGINAL error, 100000000, 15, 2] 操作後 derived = [[15, 2], 15/2] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 tolerance ORIGINAL error ORIGINAL numerator over denominator := div(15, 2) 操作後 tolerance ORIGINAL error ORIGINAL numerator over denominator = 15/2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [tolerance ORIGINAL threshold, 100000000, 15, 2] 操作後 derived = [[15, 2], 15/2] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 tolerance ORIGINAL threshold ORIGINAL numerator over denominator := div(15, 2) 操作後 tolerance ORIGINAL threshold ORIGINAL numerator over denominator = 15/2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [strict_tolerance, 15/2, 15/2] 操作後 derived = [否] 條件：無 先驗error、tolerance皆非負且恰在等號boundary；inclusive用≤故True，strict用<故False。兩branch欄數相同也不能省略mode或互換結論。 步驟識別與依賴規則：Error_TOLERANCE_equality_STRICT_vs_INCLUSIVE · 依賴：G001, S005 ## 逐步反向核對 - S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 tolerance ORIGINAL threshold ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 tolerance ORIGINAL error ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 ## 結論 (strict_tolerance, 15/2, 15/2, 否, error