# 第 33921 題：梯度向量 [返回所在分頁 170](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/170/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261015-advance-20261119-r06-gradient-vector-foundations/#q-20261015-pulse-20261119-r06-0071) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0066-33921 · q-20261015-pulse-20261119-r06-0071 ## 原題與已知條件 fixed standard Euclidean coordinates中的完整ordered gradient vector。操作=graddeep-quadratic-difference；明示資料={"symmetric_matrix":[[21,1],[1,2]],"x":[20,1],"y":[1,-20]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 - G001 — fixed standard Euclidean coordinates中的完整ordered gradient vector。操作=graddeep-quadratic-difference；明示資料={"symmetric_matrix":[[21,1],[1,2]],"x":[20,1],"y":[1,-20]}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-gradient-vector](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-gradient-vector/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod50-graddeep-quadratic-difference, [domain, operation, symmetric_matrix, x, y]] 操作後 derived = [graddeep-quadratic-difference, Exact_gradient_vector_density] 條件：無 原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。 步驟識別與依賴規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [quadratic Q ORIGINAL row0 raw coordinate0, 100000000, 21, 1] 操作後 derived = [[21, 1], 21] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 quadratic Q ORIGINAL row0 raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator := div(21, 1) 操作後 quadratic Q ORIGINAL row0 raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator = 21 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [quadratic Q ORIGINAL row0 raw coordinate1, 100000000, 1, 1] 操作後 derived = [[1, 1], 1] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 quadratic Q ORIGINAL row0 raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator := div(1, 1) 操作後 quadratic Q ORIGINAL row0 raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator = 1 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 source roles = [quadratic Q ORIGINAL row0, [21, 1]] 操作後 derived = [[21, 1]] 條件：無 先驗完整raw vector的每個分量、非空與長度，保持原座標序；不能只驗將用的cell。 步驟識別與依賴規則：R66_VECTOR_ALL_original_order_typed_nonempty · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 source roles = [quadratic Q ORIGINAL row1 raw coordinate0, 100000000, 1, 1] 操作後 derived = [[1, 1], 1] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 quadratic Q ORIGINAL row1 raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator := div(1, 1) 操作後 quadratic Q ORIGINAL row1 raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator = 1 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 source roles = [quadratic Q ORIGINAL row1 raw coordinate1, 100000000, 2, 1] 操作後 derived = [[2, 1], 2] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 quadratic Q ORIGINAL row1 raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator := div(2, 1) 操作後 quadratic Q ORIGINAL row1 raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator = 2 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 source roles = [quadratic Q ORIGINAL row1, [1, 2]] 操作後 derived = [[1, 2]] 條件：無 先驗完整raw vector的每個分量、非空與長度，保持原座標序；不能只驗將用的cell。 步驟識別與依賴規則：R66_VECTOR_ALL_original_order_typed_nonempty · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 source roles = [quadratic x ORIGINAL raw coordinate0, 100000000, 20, 1] 操作後 derived = [[20, 1], 20] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 quadratic x ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator := div(20, 1) 操作後 quadratic x ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator = 20 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 source roles = [quadratic x ORIGINAL raw coordinate1, 100000000, 1, 1] 操作後 derived = [[1, 1], 1] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 quadratic x ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator := div(1, 1) 操作後 quadratic x ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator = 1 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 source roles = [quadratic x ORIGINAL, [20, 1]] 操作後 derived = [[20, 1]] 條件：無 先驗完整raw vector的每個分量、非空與長度，保持原座標序；不能只驗將用的cell。 步驟識別與依賴規則：R66_VECTOR_ALL_original_order_typed_nonempty · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 source roles = [quadratic y ORIGINAL raw coordinate0, 100000000, 1, 1] 操作後 derived = [[1, 1], 1] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 quadratic y ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator := div(1, 1) 操作後 quadratic y ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator = 1 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 source roles = [quadratic y ORIGINAL raw coordinate1, 100000000, -20, 1] 操作後 derived = [[-20, 1], -20] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 quadratic y ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator := div(-20, 1) 操作後 quadratic y ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator = -20 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 source roles = [quadratic y ORIGINAL, [1, -20]] 操作後 derived = [[1, -20]] 條件：無 先驗完整raw vector的每個分量、非空與長度，保持原座標序；不能只驗將用的cell。 步驟識別與依賴規則：R66_VECTOR_ALL_original_order_typed_nonempty · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 source roles = [Quadratic point difference coordinate0 SOURCE naive sub, 100000000, 19, 1] 操作後 derived = [[19, 1], 19] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Quadratic point difference coordinate0 SOURCE naive sub ORIGINAL numerator over denominator := div(19, 1) 操作後 Quadratic point difference coordinate0 SOURCE naive sub ORIGINAL numerator over denominator = 19 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Quadratic point difference coordinate0 ORIGINAL rational sub := sub(20, 1) 操作後 Quadratic point difference coordinate0 ORIGINAL rational sub = 19 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 source roles = [Quadratic point difference coordinate1 SOURCE naive sub, 100000000, 21, 1] 操作後 derived = [[21, 1], 21] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Quadratic point difference coordinate1 SOURCE naive sub ORIGINAL numerator over denominator := div(21, 1) 操作後 Quadratic point difference coordinate1 SOURCE naive sub ORIGINAL numerator over denominator = 21 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Quadratic point difference coordinate1 ORIGINAL rational sub := sub(1, -20) 操作後 Quadratic point difference coordinate1 ORIGINAL rational sub = 21 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 source roles = [Quadratic Q times point difference row0 product0 SOURCE naive mul, 100000000, 399, 1] 操作後 derived = [[399, 1], 399] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row0 product0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator := div(399, 1) 操作後 Quadratic Q times point difference row0 product0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator = 399 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row0 product0 ORIGINAL rational mul := mul(21, 19) 操作後 Quadratic Q times point difference row0 product0 ORIGINAL rational mul = 399 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 source roles = [Quadratic Q times point difference row0 prefix0 SOURCE naive sum, 100000000, 399, 1] 操作後 derived = [[399, 1], 399] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row0 prefix0 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator := div(399, 1) 操作後 Quadratic Q times point difference row0 prefix0 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator = 399 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row0 prefix0 ORIGINAL rational sum := sum(0, 399) 操作後 Quadratic Q times point difference row0 prefix0 ORIGINAL rational sum = 399 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 source roles = [Quadratic Q times point difference row0 product1 SOURCE naive mul, 100000000, 21, 1] 操作後 derived = [[21, 1], 21] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row0 product1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator := div(21, 1) 操作後 Quadratic Q times point difference row0 product1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator = 21 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row0 product1 ORIGINAL rational mul := mul(1, 21) 操作後 Quadratic Q times point difference row0 product1 ORIGINAL rational mul = 21 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 source roles = [Quadratic Q times point difference row0 prefix1 SOURCE naive sum, 100000000, 420, 1] 操作後 derived = [[420, 1], 420] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row0 prefix1 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator := div(420, 1) 操作後 Quadratic Q times point difference row0 prefix1 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator = 420 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row0 prefix1 ORIGINAL rational sum := sum(399, 21) 操作後 Quadratic Q times point difference row0 prefix1 ORIGINAL rational sum = 420 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 source roles = [Quadratic Q times point difference row0, [21, 1], [19, 21]] 操作後 derived = [420] 條件：無 逐對乘積再依來源次序從0累加，核所有pre-reduction中間界；不可只核最後值或換序跳過失敗的prefix。 步驟識別與依賴規則：R66_DOT_complete_ordered_terms_and_source_prefixes · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 source roles = [Quadratic Q times point difference row1 product0 SOURCE naive mul, 100000000, 19, 1] 操作後 derived = [[19, 1], 19] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row1 product0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator := div(19, 1) 操作後 Quadratic Q times point difference row1 product0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator = 19 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row1 product0 ORIGINAL rational mul := mul(1, 19) 操作後 Quadratic Q times point difference row1 product0 ORIGINAL rational mul = 19 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 source roles = [Quadratic Q times point difference row1 prefix0 SOURCE naive sum, 100000000, 19, 1] 操作後 derived = [[19, 1], 19] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row1 prefix0 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator := div(19, 1) 操作後 Quadratic Q times point difference row1 prefix0 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator = 19 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row1 prefix0 ORIGINAL rational sum := sum(0, 19) 操作後 Quadratic Q times point difference row1 prefix0 ORIGINAL rational sum = 19 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 source roles = [Quadratic Q times point difference row1 product1 SOURCE naive mul, 100000000, 42, 1] 操作後 derived = [[42, 1], 42] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row1 product1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator := div(42, 1) 操作後 Quadratic Q times point difference row1 product1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator = 42 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row1 product1 ORIGINAL rational mul := mul(2, 21) 操作後 Quadratic Q times point difference row1 product1 ORIGINAL rational mul = 42 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 source roles = [Quadratic Q times point difference row1 prefix1 SOURCE naive sum, 100000000, 61, 1] 操作後 derived = [[61, 1], 61] 條件：無 先驗來源傳入rational的原num/den範圍與非零den，之後才sign/gcd約分。MOD50界1億且naive運算不先cross-cancel；Wave4此均值界100萬。超界是來源切片不合，不是數學為假。 步驟識別與依賴規則：R66_SOURCE_PREreduction_components_then_sign_gcd · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row1 prefix1 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator := div(61, 1) 操作後 Quadratic Q times point difference row1 prefix1 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator = 61 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Quadratic Q times point difference row1 prefix1 ORIGINAL rational sum := sum(19, 42) 操作後 Quadratic Q times point difference row1 prefix1 ORIGINAL rational sum = 61 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 source roles = [Quadratic Q times point difference row1, [1, 2], [19, 21]] 操作後 derived = [61] 條件：無 逐對乘積再依來源次序從0累加，核所有pre-reduction中間界；不可只核最後值或換序跳過失敗的prefix。 步驟識別與依賴規則：R66_DOT_complete_ordered_terms_and_source_prefixes · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 source roles = [[[21, 1], [1, 2]], [20, 1], [1, -20]] 操作後 derived = [[19, 21], [420, 61]] 條件：無 對f(u)=1/2*u^T Q u，逐微分得1/2*(Q+Q^T)u；只有Q對稱才成Qu，所以梯度差Q(x−y)。先驗完整對稱square矩陣，不要求positive definite，也不推出凸/極小/收斂。 步驟識別與依賴規則：Gradient_SYMMETRIC_quadratic_full_differential_identity · 依賴：G001, S053 ## 逐步反向核對 - S054 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S053 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row1 prefix1 ORIGINAL rational sum，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row1 prefix1 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row1 product1 ORIGINAL rational mul，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row1 product1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row1 prefix0 ORIGINAL rational sum，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row1 prefix0 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row1 product0 ORIGINAL rational mul，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row1 product0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S040 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row0 prefix1 ORIGINAL rational sum，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row0 prefix1 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row0 product1 ORIGINAL rational mul，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row0 product1 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row0 prefix0 ORIGINAL rational sum，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row0 prefix0 SOURCE naive sum ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row0 product0 ORIGINAL rational mul，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic Q times point difference row0 product0 SOURCE naive mul ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic point difference coordinate1 ORIGINAL rational sub，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic point difference coordinate1 SOURCE naive sub ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic point difference coordinate0 ORIGINAL rational sub，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic point difference coordinate0 SOURCE naive sub ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S021 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quadratic y ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quadratic y ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S016 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quadratic x ORIGINAL raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quadratic x ORIGINAL raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S011 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quadratic Q ORIGINAL row1 raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quadratic Q ORIGINAL row1 raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quadratic Q ORIGINAL row0 raw coordinate1 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quadratic Q ORIGINAL row0 raw coordinate0 ORIGINAL numerator over denominator，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 - S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。 ## 結論 ([[21, 1], [1, 2]], [20, 1], [1, -20], [19, 21], [420, 61], grad_f_x_minus_grad_f_y_equals_Q_times_x_minus_y_for_symmetric_quadratic) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5eb201fdce0174f249d007bf6db17810f2e541ed264c10ecfda5e9dc59f65c88 - candidate record SHA-256: 712ce3a5dd37f3949ea03438960f03690bf61c63fa7e68272f28011c30b5c6a2 - semantic review receipt SHA-256: 99b4f114b2ec93164b6aa5681e0107033a240e7a3f0a8988633ba65320ede267 - question-first witness SHA-256: d9bd3a1940da8a73f790ee3fe460c9a8523791bdbe72c8e0304e3740b66710cc - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261015-pulse-20261119-r06-0071.json)