第1章 變數、常數與代數式

買3件同價商品，要付多少錢？如果每件4元，商品金額是12元；如果每件5元，商品金額是15元。兩次計算的結構相同，變的是單價。我們可以先用一個字母保留這個位置，等知道它的值再計算。

本章要學的不是猜字母，而是讀懂字母的角色。讀完後，你應能分清變數、常數和係數，完整代入負數，並在計算前寫出有意義的範圍。先備是第一冊的整數、分數和運算次序。

1.1 字母代表什麼要先說清楚

變數是我們允許取不同值的量。當一個問題給了條件、要求找出符合條件的值時，這個待求的量通常稱為未知數。字母本身沒有永久身分：同一個p，在某題可以是已知的固定單價，在另一題也可以是需要比較的變數。

常數是在目前討論中固定的量。例如3x＋2裡的數字3和2都是固定的，但它們的作用不同。3乘著x，是x項的係數；2不帶變數，是常數項。因此，「常數」不等於「常數項」。

同一題裡，同一個字母要保留同一個取值。不能在3x＋x中把前面的x取4、後面的x取6，卻仍說自己在計算同一個x的式子。

本冊沒有另說明時，純代數問題中的變數取實數。ℝ代表實數全體；這裡沿用第一冊的數線與實數運算，不在本章重新構造實數。若字母表示整件商品的件數，允許值就要改成0、1、2等非負整數。

1.2 代數式是一個計算安排

3x表示3 × x，不是把數字3與x排成一個兩位數。ab表示a × b，a(b＋c)表示a乘上整個括號。若是a²，則表示a × a，不是2 × a。

3x＋2是一個代數式；它還沒有說「等於哪一個數」。3x＋2＝14則是一個等式，是否成立要看x。給定x＝4後算出14，是一次代入計算，不是說這個代數式對每一個x都固定等於14。

例題1 給定x＝4 求3x＋2的值

1. 先把省略的乘號讀出來：3x＋2＝3 × x＋2。
2. 把完整的x值4放回原位置，得到3 × 4＋2。
3. 先做乘法：3 × 4＝12。
4. 再做加法：12＋2＝14。
5. 所以，在x＝4這個給定值下，3x＋2的值是14。

檢查時可以反向看：14減去固定加上的2，剩12；12除以係數3，得到4，正好回到本題給定的x。這個反向檢查能找出代入或計算錯誤，但我們還沒有在本章建立一般的解方程方法。

若改給x＝0，同一個式子的值就是3 × 0＋2＝2。因此，不能把「在x＝4時等於14」改說成「對所有實數x都等於14」。

1.3 代入負數要帶著括號

把一個量代入式子時，要替換整個量，不是只替換看起來方便的一部分。負數特別需要用括號保留它的完整角色。

例題2 給定a＝−3 b＝5 求2a²−b的值

1. 依運算次序，2a²−b先讀成2 × (a²)−b。
2. 把a和b的完整值代入，得到2 × (−3)²−5。
3. 平方是兩個相同因子相乘：(−3)²＝(−3) × (−3)＝9。
4. 再乘上係數2：2 × 9＝18。
5. 最後減去b的值5：18−5＝13。
6. 所以2a²−b在這組給定值下等於13。

回查：結果13加回5得到18，再除以2得到9，與a²相符。但不能從a²＝9單獨判定a一定是−3，因為a＝3也有同樣的平方；本題的負號來自已給定的a＝−3。

還要分清−a²與(−a)²。前者通常讀成−(a²)，後者則是把−a整體平方。例如a＝2時，−a²＝−4，而(−a)²＝4。它們在a＝0時可以相同，但不是對所有a都相同的兩個式子。

1.4 允許取值的範圍也是條件

式子中若有除法，先檢查分母。6/(v−2)的分母是整個v−2，因此必須有v−2≠0，也就是v≠2。給定v＝2時，原式沒有通常實數除法的意義，不能硬填成0或無窮大。

限制也可能來自題意，而不是運算本身。件數n＝2.5可以放進8＋3n做實數計算，但在「整件、不拆售」的模型中，2.5件不是合格的件數。

例題3 固定包裝費加上商品金額

假設某個數學模型規定：固定包裝費8元，每件商品3元，商品只按整件計。模型還明示，即使n＝0，固定費仍是8元。若買n件，用C表示總金額。

1. 先定義符號：n是件數，只能取非負整數；C以元為單位。
2. 每件3元，n件的商品金額是3n元。
3. 加上固定費，模型寫成C＝8＋3n。
4. 若n＝5，代入得到C＝8＋3 × 5。
5. 先算商品金額3 × 5＝15，再算8＋15＝23。
6. 因此本模型中5件的總金額是23元。

單位也要回查：(3元/件) × 5件＝15元，再加8元得到23元。反向核對，23−8＝15，15/3＝5，回到原件數。

這是明示假設的合成模型，不是在宣稱真實商店都有相同收費方式。遇到真實題目，要先確認固定費何時收取、是否可以拆售，以及是否另有折扣，不能只看到數字就套式子。

1.5 常見錯誤

• 把係數和常數項混在一起。3x＋2中，3是固定數字，但常數項是2，不是3。
• 同一題的同一字母，前後偷偷換了不同值。
• 把2a²讀成(2a)²，或把−a²讀成(−a)²。指數作用到哪裡，要由括號和通常的運算次序判斷。
• 只替換負數的數字部分，漏掉負號或括號。
• 忘記分母非零，或把「式子算得出來」誤當成「取值符合題意」。

一個實用的計算次序是：先說明字母角色與範圍，再抄完整的式子，帶括號代入，依運算次序算值，最後核對原條件與單位。

1.6 本章回顧

代數式保留的是量與運算的結構。計算前先回答：字母代表什麼、哪些量固定、允許哪些值、括號涵蓋哪一部分。下一章開始比較不同寫法是否表示同一個式子；理由不能只靠挑幾個數代入。先完成下面練習並核對解答，再進入下一章。

1.7 練習

以下純代數題中的變數取實數；第8題另依件數模型的條件。

1. B02-C01-Q01　在5x−7中，x項的係數及常數項分別是什麼？不要把減號遺漏。
2. B02-C01-Q02　給定t＝−2，求4t＋1的值。
3. B02-C01-Q03　給定a＝−2，分別求−a²與(−a)²的值。
4. B02-C01-Q04　給定u＝3，求2(u＋4)的值，寫出括號內的計算。
5. B02-C01-Q05　給定x＝4時，3x＋2＝14是否成立？這能否證明它對所有實數x成立？用x＝0檢查第二個問題。
6. B02-C01-Q06　6/(v−2)在v＝2時是否有意義？在v＝−1時的值是多少？
7. B02-C01-Q07　把「先將k減去5，再把整個結果乘3」寫成代數式，並求k＝7時的值。
8. B02-C01-Q08　沿用例題3的模型C＝8＋3n，求n＝4時的總金額；n＝2.5是否是本模型允許的件數？

1.8 完整解答

Q01

5x−7可以讀成5x＋(−7)。含x的一項是5x，所以x項的係數是5。另一項沒有變數，是常數項−7。答案不是「係數5、常數項7」，因為減號是這一項的一部分。

Q02

1. 把t＝−2完整代入：4t＋1＝4 × (−2)＋1。
2. 先算乘法：4 × (−2)＝−8。
3. 再加1：−8＋1＝−7。
4. 因此原式的值是−7。反向核對，−7−1＝−8，而−8/4＝−2，與給定值相符。

Q03

1. −a²的平方先算：a²＝(−2)²＝4，再取相反數，得到−a²＝−4。
2. (−a)²先處理括號：−a＝−(−2)＝2，再平方，得到(−a)²＝2²＝4。
3. 兩個答案分別是−4與4。差別在負號是否包括在平方的底數內，不是同一個算式得到兩個任意答案。

Q04

1. 代入u＝3：2(u＋4)＝2 × (3＋4)。
2. 先算括號：3＋4＝7。
3. 再乘2：2 × 7＝14。
4. 所以原式的值是14。這裡的2乘上整個括號，不只是乘u。

Q05

給定x＝4時，左邊3 × 4＋2＝12＋2＝14，與右邊相等，所以在這個給定值下成立。

但這不能證明「對所有實數x成立」。給定x＝0，左邊3 × 0＋2＝2，右邊仍是14，而2≠14。這個符合實數範圍的反例已足以否定「所有x」的說法。一次成立的代入檢查與一般恆等關係是不同的問題。

Q06

1. 分母是v−2，先要求v−2≠0，也就是v≠2。
2. 在v＝2時，分母2−2＝0，所以6/(v−2)沒有通常實數除法的意義。
3. 在v＝−1時，分母(−1)−2＝−3，符合非零條件。
4. 此時6/(v−2)＝6/(−3)＝−2。
5. 用除法的反向關係檢查：(−3) × (−2)＝6，計算相符。

Q07

先減5，要把中間結果k−5保留成一組；再乘3，所以代數式是3(k−5)。

給定k＝7，先算7−5＝2，再算3 × 2＝6。若誤寫成3k−5，代入7會得到21−5＝16，那描述的是「先乘3，再減5」，順序與題意不同。

Q08

1. n＝4是非負整數，符合件數條件。
2. 代入C＝8＋3n，得到C＝8＋3 × 4＝8＋12＝20，總金額是20元。
3. 2.5不是整數，所以n＝2.5不屬於這個「整件、不拆售」模型的允許範圍。
4. 8＋3 × 2.5作為實數算式雖然可以計算，但算得出一個數，不會自動讓2.5件變成符合模型的輸入。