第2章 分配律與式的整理

3x＋2x為什麼可以寫成5x？2(x＋3)為什麼不是2x＋3？整理式子不是把相似的字挪在一起，而是在不改變值的前提下，使用明確的運算規則換一種寫法。

本章沿用實數運算。你會練習展開括號、合併同類項，再把結果反向展開或代入檢查。最後還要分清：一個反例能否定錯誤的恆等說法，但有限次代入不能代替一般的代數理由。

2.1 分配律作用到每一項

對實數a、b、c，分配律寫成a(b＋c)＝ab＋ac。它是本冊採用的實數運算規則之一；同時也使用乘法、加法的交換律與結合律。省略乘號時，ab仍然表示a乘b。

例如2(x＋3)，括號內有x和3兩項。外面的2要乘到兩項，所以得到2x＋2 × 3＝2x＋6。不是只乘第一項。

圖中取x＝4，只為看清楚分割。若用矩形長度作示意，就不能把負數x當成負的實際長度。2(x＋3)＝2x＋6對所有實數x成立的理由，是實數的分配律，不是這一張有限數值的圖。

減法也要連同符號一起處理。因為b−c＝b＋(−c)，所以a(b−c)＝ab−ac。特別是括號前面的負號，可以先讀成係數−1。

2.2 合併同類項是反向使用分配律

2x＋3x＝(2＋3)x＝5x。第一步是反向使用分配律，把共同的x提出來；第二步才是把係數2和3相加。

本章把變數及其各自次方完全相同的項稱為同類項。例如2x與−3x是同類項，2x²與5x²也是；但x與x²不是同類項。常數項之間可以合併。

xy與yx雖然字面順序不同，但在實數乘法中xy＝yx，因此3xy−2yx＝xy。判斷同類項要考慮已允許的運算規則，不是只看字母排版是否一模一樣。

x＋x²通常不能合併成2x。取x＝2，前者是2＋4＝6，後者是4，所以兩者不是恆等的寫法。個別取值時碰巧相同，不會讓它們成為同一個代數式的普遍整理規則。

例題1 整理3x＋2(x＋4)−5

1. 原式是3x＋2(x＋4)−5，所有括號與符號都先保留。
2. 對括號使用分配律：2(x＋4)＝2x＋8。
3. 代回原式，得到3x＋2x＋8−5。
4. 依加法的交換律與結合律，把含x的項看成一組，常數項看成另一組。
5. 含x的項是3x＋2x＝(3＋2)x＝5x。
6. 常數項是8−5＝3。
7. 合起來，原式＝5x＋3。

反向核對可以把5x拆回3x＋2x，把3寫回8−5，再把2x＋8合回2(x＋4)。每一步都有相反方向可用的等式，所以沒有偷偷換成另一個值。

再用x＝−2檢查算術：原式是3 × (−2)＋2 × ((−2)＋4)−5＝−6＋4−5＝−7；整理式是5 × (−2)＋3＝−10＋3＝−7。這次代入能幫助找錯，一般成立的理由仍是前面的運算規則。

2.3 括號前面的負號不能只照顧一項

若整個括號都要被減去，裡面的每一項都受影響。對任意實數u、v，−(u−v)＝−u＋v。可以先把左邊寫成(−1)(u＋(−v))，再把−1分配到兩項。

例題2 整理4a−(2a−3)＋2

1. 先處理被減去的整個括號：−(2a−3)＝(−1)(2a＋(−3))。
2. 分配到兩項：(−1) × 2a＝−2a，(−1) × (−3)＝3。
3. 因此原式變成4a−2a＋3＋2。
4. 合併同類項：4a−2a＝(4−2)a＝2a。
5. 合併常數項：3＋2＝5。
6. 所以4a−(2a−3)＋2＝2a＋5。

若把括號去成4a−2a−3＋2，就是漏掉了原本「減去−3」的作用。取a＝0，原式是0−(−3)＋2＝5；錯式卻得到−1，足以否定那個錯誤的恆等說法。

反向看，2a＋5可以寫成4a−2a＋3＋2，再把−2a＋3收成−(2a−3)，回到原式。這是按規則回查，不是任意加上一個括號。

2.4 兩個和相乘要分配兩次

例題3 展開(x＋2)(x＋3)

1. 先把右邊整個x＋3當作一組，對左括號的兩項分配：原式＝x(x＋3)＋2(x＋3)。
2. 第一組再分配：x(x＋3)＝x × x＋x × 3＝x²＋3x。
3. 第二組再分配：2(x＋3)＝2x＋6。
4. 合起來得到x²＋3x＋2x＋6。
5. 3x與2x是同類項，合成5x；x²不是x項，不能一起合併。
6. 因此(x＋2)(x＋3)＝x²＋5x＋6，對所有實數x成立。

圖只是把四個乘積放在不同區域。圖中取x＝4時，左邊是6 × 7＝42，右邊是16＋20＋6＝42；對任意實數x的等式則由前面的兩次分配律得到。負的x不能照搬成負的實際邊長。

只把首項相乘、末項相乘而寫成x²＋6，會漏掉中間的3x與2x。例如x＝1時，原式為3 × 4＝12，錯式為7。這個反例否定錯式，但不取代正確展開的逐步理由。

2.5 恆等與一次代入檢查

在一個明示範圍內，兩個式子對每個允許的值都相等，就稱它們在該範圍內恆等。本章的三個整理例題都沒有分母或其他排除條件，使用的規則對全部實數取值適用。

代入一個值發現不相等，可以反駁「所有值都相等」。代入幾個值都相等，只表示這些取值沒有找出錯誤，還不能單獨建立一般恆等。說明分配律、合併同類項及其他合法步驟，才是本章整理式子的主線。

2.6 常見錯誤

• 2(x＋3)只乘到x，漏掉2乘3。
• −(u−v)去括號時只改第一項，漏掉減去負數會得到加上相應的正數。
• 因為都含x，就把x和x²當成同類項。
• 兩個和相乘時漏掉交叉的兩個乘積。
• 把少數幾次代入相同，當成對所有實數成立的證明。

2.7 本章回顧

整理式子時，先處理括號，再辨認同類項，最後核對每個符號與乘積的去向。下一章要處理的是等式何時成立；式子恆等的改寫可以放進方程，但「解方程」還需要說清楚每一步是否保留全部解。先完成下面練習並核對解答，再進入下一章。

2.8 練習

下列變數均取實數。每題請寫出使用的整理步驟，不只寫最後結果。

1. B02-C02-Q01　合併2x＋5x−3x。
2. B02-C02-Q02　整理7−2y＋4y−1。
3. B02-C02-Q03　展開5(a＋2)。
4. B02-C02-Q04　展開−3(t−4)，保留兩個乘積的符號。
5. B02-C02-Q05　整理2(3x−1)＋x＋5。
6. B02-C02-Q06　整理6m−(m＋2)。
7. B02-C02-Q07　展開(z＋1)(z＋4)，把四個乘積都寫出來。
8. B02-C02-Q08　有人說2(x＋3)＝2x＋3對所有實數x成立。用x＝0指出問題，再用分配律給出正確整理式。

2.9 完整解答

Q01

1. 三項的變數部分都是x，因此可以合併係數。
2. 2x＋5x−3x＝(2＋5−3)x。
3. 2＋5−3＝4，所以結果是4x。

Q02

1. 依加法交換律與結合律，把式子寫成(−2y＋4y)＋(7−1)。
2. y項合併為(−2＋4)y＝2y。
3. 常數項合併為7−1＝6。
4. 結果是2y＋6。常數6不帶y，不能再和2y合併成8y。

Q03

1. 係數5要乘到括號中的兩項：5(a＋2)＝5a＋5 × 2。
2. 算出5 × 2＝10，得到5a＋10。
3. 反向提出共同因子5，就能從5a＋10回到5(a＋2)。

Q04

1. t−4讀成t＋(−4)。
2. 分配−3，得到(−3)t＋(−3) × (−4)。
3. 第二個乘積是12，所以結果是−3t＋12。
4. 不能把它寫成−3t−12；那是把負負相乘的符號算錯。

Q05

1. 展開括號：2(3x−1)＝6x−2。
2. 原式變成6x−2＋x＋5。
3. 合併x項：6x＋x＝7x，這裡單獨的x有係數1。
4. 合併常數項：−2＋5＝3。
5. 所以結果是7x＋3。

Q06

1. 整個m＋2都要被減去，所以−(m＋2)＝−m−2。
2. 原式變成6m−m−2。
3. 6m−m＝(6−1)m＝5m，因此結果是5m−2。
4. 反向把5m寫回6m−m，再把−m−2收成−(m＋2)，就回到原式。

Q07

1. 對第一個括號分配：(z＋1)(z＋4)＝z(z＋4)＋1(z＋4)。
2. 繼續展開兩組：＝z × z＋z × 4＋1 × z＋1 × 4。
3. 寫出各乘積：＝z²＋4z＋z＋4。
4. 合併同類項：4z＋z＝5z。
5. 所以結果是z²＋5z＋4。四個乘積都已出現，沒有漏掉中間兩項。

Q08

取x＝0，左邊2(0＋3)＝6，右邊2 × 0＋3＝3。6≠3，所以原來的「所有實數x」說法不成立。

正確使用分配律，2(x＋3)＝2x＋2 × 3＝2x＋6。後面這條恆等式的理由是把2分配到兩項，不是只因為x＝0這次剛好相等。