第4章 不等式與解集

「至多5件」與「少於5件」不同：前者允許5，後者不允許。不等式也要保留這種邊界差別。求解不只是在最後寫出一個數，而是指出哪些值符合條件、哪些端點包含在內。

本章純代數問題的未知數取實數。先備是前三章的式子整理、同解操作與回查。圖中的數線只畫有限視窗，兩端箭頭不把實數限制成有限個刻度。

4.1 大小關係與端點

x＜3表示x嚴格小於3，不能取3；x≤3則可以取3。相應地，x＞3與x≥3也有相同的端點差別。

區間(−∞,3)表示所有小於3的實數；(−∞,3]包含3。圓括號排除有限端點，方括號包含有限端點。∞與−∞在這裡不是實數，所以不把它們寫成包含端點的方括號。

兩邊同加或同減一個量，大小方向不變。兩邊同乘或同除正數，方向也不變；若乘除的是負數，方向必須反過來。例如1＜2，但同乘−1後，−1＞−2。

這不是只靠這個例子訂規則。對a＜b，差b−a是正數；乘上正數仍為正，乘上負數則為負，正是順序需要保留或反轉的原因。若乘0，原來的嚴格大小差別會消失，不能用它作一般的同解操作。

例題1 解3x−2＜7

1. 兩邊同加2，得到3x＜9。
2. 3是正數，兩邊同除3，方向不變，得到x＜3。
3. 每一步都可用相反的合法操作回去，所以解集是(−∞,3)。
4. 用邊界檢查：x＝3時，左邊7不嚴格小於7，因此不包含3；取x＝0，左邊−2＜7，確實在解集中。

檢查幾個值不是逐一窮盡整條數線；全部解由上面的同解步驟得到。

4.2 除以負數要改變方向

例題2 解−2x＋5≥11

1. 兩邊同減5，得到−2x≥6。
2. 除數−2是負數，兩邊同除−2時，把≥改成≤。
3. 得到x≤−3，解集為(−∞,−3]。
4. x＝−3使左邊11等於右邊11，所以包含端點。
5. 取x＝−4，左邊8＋5＝13≥11；取x＝−2，左邊4＋5＝9，不符合條件。

反向從x≤−3同乘−2，方向變回≥，得到−2x≥6，再同加5回到原式。

4.3 兩個條件要分清楚且與或

−1＜2x＋3≤7要求兩個比較同時成立。「且」取共同部分；「或」只要至少一個條件成立，取兩部分的聯集。

例題3 解−1＜2x＋3≤7

1. 把它看成−1＜2x＋3，且2x＋3≤7。
2. 三部分同減3，得到−4＜2x≤4；這等於對兩個不等式都做同減3。
3. 同除正數2，兩個方向都不變，得到−2＜x≤2。
4. 解集為(−2,2]。x＝−2使中間值等於−1，違反左邊的嚴格小於；x＝2使中間值等於7，符合右邊的≤。
5. 每個條件都可逆，因此共同保留的範圍正是全部解。

若題目是x＜−1或x≥2，中間不是要「同時小於−1又大於等於2」，而是保留左側與右側兩段。讀錯連接詞，就會把非空的聯集誤判成沒有解。

4.4 本章回顧

先讀嚴格與非嚴格符號，再逐步做兩邊同運算；負數乘除一定檢查方向。寫出解集後，逐一核對端點是否包含，以及多個條件是且還是或。

4.5 練習

1. B02-C04-Q01　解x＋4≤9，說明端點是否包含。
2. B02-C04-Q02　解5x＞15。
3. B02-C04-Q03　解−3x＜6。
4. B02-C04-Q04　解7−2x≤1。
5. B02-C04-Q05　解2(x−1)≥x＋3。
6. B02-C04-Q06　解1≤3x＋4＜10。
7. B02-C04-Q07　用區間表示x＜−1或x≥2，判斷−1與2是否在解集中。
8. B02-C04-Q08　有人把−2x≤6整理成x≤−3。用x＝0檢查，再寫出正確解集。

4.6 完整解答

Q01

兩邊同減4，得到x≤5，所以解集是(−∞,5]。代入5得到9≤9，端點包含；減4可用加4回去，因此沒有漏解。

Q02

5是正數，同除5不改方向，得到x＞3，解集是(3,∞)。代入3只有15＝15，不符合嚴格大於，所以排除3。

Q03

同除負數−3時，把＜改成＞，得到x＞−2，解集為(−2,∞)。例如x＝0使0＜6成立；端點−2使6＜6不成立。

Q04

1. 兩邊同減7，得到−2x≤−6。
2. 同除−2並反轉方向，得到x≥3。
3. 解集是[3,∞)。回代3，左邊7−6＝1，符合≤1。

Q05

先展開為2x−2≥x＋3；兩邊同減x，得x−2≥3；再同加2，得x≥5。解集為[5,∞)。展開及加減都可逆；代入5，原兩邊都等於8。

Q06

三部分同減4，得−3≤3x＜6；同除正數3，得−1≤x＜2。解集為[−1,2)：左端可以等於，右端不可以等於。

Q07

解集是(−∞,−1)與[2,∞)的聯集。−1不在左段，也不在右段，所以排除；2在右段，因此包含。0位於兩段之外，因此不在解集中。一般地，不在這個聯集內的實數恰好滿足−1≤x＜2：它既不滿足x＜−1，也不滿足x≥2，所以都不是解。這個整段判定來自原條件的「或」，不是只憑x＝0這一個代入值推廣。

Q08

x＝0時，原式是0≤6，成立；錯誤結果卻要求0≤−3，不成立，表示那一步沒有保留原解。正確同除−2必須反轉方向，得到x≥−3，解集為[−3,∞)。