第7章 因式分解

展開把乘積寫成和，因式分解則把和改寫成乘積。兩個方向都依運算規則進行；得到一個好看的括號後，仍要展開檢查，不能只靠「很像公式」。

本章變數取實數。先練習整係數的常見例子，不宣稱每個多項式都能用整數配出一次因子。

7.1 提出公因式不等於任意約分

例題1 分解6x²＋9x

1. 兩項都可以寫成3x乘另一個式子：6x²＝3x × 2x，9x＝3x × 3。
2. 反向使用分配律，得到6x²＋9x＝3x(2x＋3)。
3. 展開回查：3x × 2x＋3x × 3＝6x²＋9x，對每個實數x成立。

這裡沒有把等式兩邊除以x，因此x＝0也包含在恆等式的範圍中。提出因式與做一個可能除以0的約分，是不同的操作。

7.2 平方差來自交叉項抵消

例題2 分解x²−9

1. 9＝3²，所以原式是x²−3²。
2. 展開(x−3)(x＋3)，得到x²＋3x−3x−9。
3. 中間兩項抵消，結果正是x²−9。
4. 因此x²−9＝(x−3)(x＋3)，對所有實數x成立。

一般形式是a²−b²＝(a−b)(a＋b)。若原式是平方和a²＋b²，不能把同一個減號公式直接搬過來。

7.3 由係數尋找兩個整數

例題3 分解x²＋5x＋6

1. 展開(x＋r)(x＋s)，會得到x²＋(r＋s)x＋rs。
2. 要符合原式，須同時有r＋s＝5及rs＝6。
3. r＝2、s＝3同時符合這兩條；只符合乘積而不符合和，還不夠。
4. 因此候選分解是(x＋2)(x＋3)。
5. 展開檢查為x²＋3x＋2x＋6＝x²＋5x＋6，確認恆等。

整數配對是這類例子的方便方法，不是全部二次式都能成功。例如x²−2的實根牽涉√2，不會因為找不到整數配對就變成沒有實根；下一章再處理一般二次方程。

7.4 分解式子與求解方程不同

x(x−2)本身是一個乘積式子。只有在方程x(x−2)＝0中，才能進一步使用實數的零乘積性質：乘積為0時，至少一個因子為0。

理由是：若第一個因子不為0，就能合法除以它，迫使第二個因子為0；若第一個因子已為0，就在另一個分支。不能直接除以未知數x，把第一種可能性丟掉。

若乘積等於6，則不可以要求其中一個因子等於0。零乘積性質的右邊必須真的是0。

7.5 本章回顧

先找共同因式，再看平方差或適合的二次配對；最後一律展開回查。若用分解來解方程，先把方程整理成乘積等於0，再保留每個可能的零因子。

7.6 練習

1. B02-C07-Q01　分解4x＋8。
2. B02-C07-Q02　分解5x²−10x，並說明x＝0是否仍在恆等式範圍內。
3. B02-C07-Q03　分解x²−16。
4. B02-C07-Q04　分解9x²−1。
5. B02-C07-Q05　分解x²−7x＋12。
6. B02-C07-Q06　分解x²−x−6。
7. B02-C07-Q07　解x(x−2)＝0，說明直接約掉x會漏掉什麼。
8. B02-C07-Q08　檢查x²＋4＝(x−2)(x＋2)是否恆等，並用x＝0提供反例。

7.7 完整解答

Q01

4x＝4 × x，8＝4 × 2，所以4x＋8＝4(x＋2)。展開右邊為4x＋8，回查相符。

Q02

兩項都有5x，分解為5x(x−2)。展開得到5x²−10x，沒有做除以x的操作，因此x＝0仍在恆等式的範圍內。

Q03

16＝4²，使用平方差得到(x−4)(x＋4)。展開為x²＋4x−4x−16＝x²−16。

Q04

9x²＝(3x)²，1＝1²，因此分解為(3x−1)(3x＋1)。展開中間的正負3x抵消，剩9x²−1。

Q05

需要兩個數的和為−7、積為12。−3與−4符合，所以分解為(x−3)(x−4)。展開x²−4x−3x＋12＝x²−7x＋12。

Q06

需要兩個數的和為−1、積為−6。−3與2符合，所以分解為(x−3)(x＋2)。展開x²＋2x−3x−6＝x²−x−6。

Q07

按零乘積性質，x＝0或x−2＝0，因此全部解是0與2。兩者代回原乘積都為0；反過來，每個解必須使至少一個因子為0，所以沒有其他解。直接約掉x會預先排除x＝0，漏掉這個有效解。

Q08

右邊展開是x²−4，不是x²＋4。給定x＝0，左邊4、右邊−4，不相等，所以不是恆等式。不能把平方差的公式用來改寫平方和。