第9章 分式與根式的資格

有時候，整理後的式子看起來更簡單，卻不再提醒我們原來哪些值不能代入。資格不是可有可無的附註；少了一個非零或非負條件，就可能多收進原式沒有意義的值。

本章仍在實數範圍討論。分母必須非零，主平方根的被開方數必須非負；平方後得到的候選值，要連同保留的條件一起檢查。

9.1 約分之後保留原分母的排除點

例題1 整理(x²−1)/(x−1)

1. 原分母x−1必須非零，所以先記下x≠1。
2. 分子分解為(x−1)(x＋1)。
3. 在x≠1的範圍內，才能約去非零因式x−1，得到x＋1。
4. 結論是原式在x≠1時等於x＋1，而不是把原式的範圍改成全部實數。
5. 例如x＝3時，原式8/2＝4，簡式也為4；x＝1時原式是0/0，沒有通常除法意義，不能因簡式給出2就補回這個點。

約掉的是共同因式，不是任意把加項刪掉。例如(x＋1)/x不能把分子裡的一個x和分母約去後變成1＋1；分子不是x乘上一個已寫出的完整因子。

9.2 清分母的可逆性取決於保留條件

例題2 解(x＋1)/(x−2)＝3

1. 原式要求x≠2。
2. 在這個範圍內，x−2非零，所以兩邊同乘x−2是可逆操作。
3. 得到x＋1＝3(x−2)＝3x−6。
4. 兩邊同減x，再同加6，得7＝2x，因此x＝7/2。
5. 7/2≠2，符合原分母條件。
6. 回代原式，(9/2)/(3/2)＝3，成立，所以唯一解是7/2。

這裡是等式，不要求x−2為正，只要求非零。若原問題是不等式，乘除符號未定的量還要分正負情況，不能把本例的做法直接照搬。

9.3 平方的方向與主根的非負性

由u＝v可以推出u²＝v²，反向卻不一定成立，例如1與−1平方相同。若已知u、v都非負，才可以由平方相等反推兩者相等。

例題3 解√(x＋2)＝x

1. 被開方數要求x＋2≥0；左邊是非負主根，因此等號成立還必須有x≥0。合併後保留x≥0。
2. 平方得到x＋2＝x²，整理為x²−x−2＝0。
3. 分解為(x−2)(x＋1)＝0，若暫不看保留條件，會得到候選值2與−1。
4. 2符合x≥0，原式√4＝2也成立。
5. −1不符合x≥0；直接回代更得到√1＝1，而右邊是−1，不相等。
6. 所以原方程唯一解是2。每個原解必須在候選根中，而2已通過原式檢查，全部解也就完整列出。

在保留的x≥0條件下，平方可以反向還原；若把條件丟掉，只剩平方方程，就會多出−1。不能因為「計算有照做」就省略最後的資格。

9.4 平方根與絕對值

√(x²)對所有實數x都有意義，因為x²≥0；它的值是|x|，不是總等於x。若x≥0，x本身非負且平方為x²，所以主根是x。若x＜0，則−x＞0且(−x)²＝x²，所以主根是−x。兩種情形合起來，正好是|x|的定義。

同樣，√(ab)＝√a × √b在實數範圍使用時要有a、b都非負。不能只因ab為正，就把兩個負數各自放進實數平方根。

9.5 本章回顧

先寫原式的允許範圍，再變形，最後帶著同一份條件回查。簡化式有更多可代入值，不表示原式也有；平方式有更多根，不表示原方程也有。每一次可能增加或遺失解的操作，都要說明方向。

9.6 練習

1. B02-C09-Q01　寫出4/(x＋3)在實數中的允許條件。
2. B02-C09-Q02　整理(x²−4)/(x−2)，保留原範圍。
3. B02-C09-Q03　(x−1)/(x−1)可以寫成1，是否因此在x＝1也有意義？
4. B02-C09-Q04　解2/(x−1)＝1並回代。
5. B02-C09-Q05　判斷(x＋2)/(x−1)＝1的實數解。
6. B02-C09-Q06　解√(x＋1)＝2。
7. B02-C09-Q07　解√(x＋4)＝x−2，保留主根非負的要求。
8. B02-C09-Q08　給定x＝−3，比較√(x²)與x，並說明一般正確形式。

9.7 完整解答

Q01

分母x＋3不能為0，所以允許全部實數但排除x＝−3。不是只要求分子4非零。

Q02

原式先要求x≠2。分子分解為(x−2)(x＋2)，在保留的範圍內約去x−2，得到x＋2。結論必須一起寫成「x＋2，且x≠2」。

Q03

不能。原式在x＝1時分子、分母都是0，不定義。對x≠1，非零數除以自身才等於1；簡式1的定義範圍較大，不會自動改寫原式的範圍。

Q04

先保留x≠1。同乘非零的x−1，得2＝x−1，所以x＝3；它不等於1，且回代2/(3−1)＝1。因此唯一解是3。

Q05

原式要求x≠1。在此範圍同乘x−1，得x＋2＝x−1，再同減x得到2＝−1，矛盾。因此沒有實數解；被排除的x＝1也不能作為補充解。

Q06

原式要求x≥−1，右邊2非負。平方得x＋1＝4，所以候選x＝3。它符合範圍，回代√4＝2成立。任何原解都必須滿足平方後的一次式，所以唯一解是3。

Q07

1. 原被開方數要求x≥−4，主根等於x−2又要求x≥2，合併保留x≥2。
2. 平方得x＋4＝(x−2)²＝x²−4x＋4。
3. 整理為x²−5x＝x(x−5)＝0，暫得候選0與5。
4. 0不符合x≥2；回代也會要求2＝−2，不成立。
5. 5符合範圍，√9＝3，右邊5−2＝3，所以唯一解是5。

Q08

在x＝−3時，√(x²)＝√9＝3，而x＝−3，兩者不同。一般正確形式是√(x²)＝|x|。x≥0時它是x，x＜0時它是−x；兩種情況都使結果非負且平方為x²。