第4章 相似與比例尺

照片放大後，長度變了，角度與形狀可以保留。相似描述的是統一比例的縮放，不是每個方向各拉各的。本章以正倍率處理對應長度、周長、面積及地圖比例尺。

先備是第一冊的比例、平方與單位，及第三章的三角形對應。讀完後應能寫出倍率的方向，區分長度倍率k與面積倍率k²；未讀代數者可先跟著具體數值例題。

4.1 所有對應長度用同一倍率

本冊說兩圖形相似，是指一個圖形經統一正倍率縮放，再配合平移、旋轉或鏡射，可以和另一圖形重合。方向可翻轉，倍率取k＞0；對應角相等，對應長度都乘k。倍率1就是全等的情況。

非退化三角形可用AA、三邊成比例，或兩邊成比例且夾角相等來判定相似。後兩種判定可先把一個三角形統一縮放到已知邊長，再用前章SSS或SAS判定全等。AA則使用三角形等角定形的相似性質；不把它誤寫成等角定大小。

例題1 倍率要有方向

△ABC三邊依對應順序為4、6、8公分，放大為原來的3/2倍，求新三邊。

1. 倍率是「新長度 ÷ 原長度」＝3/2，為正。
2. 新邊長依序為4 × 3/2＝6、6 × 3/2＝9、8 × 3/2＝12公分。
3. 反查6/4＝9/6＝12/8＝3/2，使用的是同一倍率。
4. 原三邊4＋6＞8，新三邊6＋9＞12，也保留非退化。若只把其中一邊放大，不會自動相似。

4.2 比例尺先統一單位

例題2 從平面圖換回實際長度

比例尺1:500表示圖上長度與實際長度使用同一單位時的比。圖上一段長3.6公分，實際多長？

1. 1公分對應500公分，不是500公尺。
2. 實際長度＝3.6 × 500＝1800公分。
3. 1800公分＝18公尺。
4. 反查18公尺＝1800公分，圖上3.6 ÷ 實際1800＝1/500，方向正確。

4.3 面積不是再乘一次長度倍率就結束

矩形的兩邊都乘k，面積便由ab變成(ka)(kb)＝k²ab。三角形的底與垂直高也都乘k，所以面積同樣乘k²。對可分割成有限個三角形的多邊形，逐塊相加也得到相同結論；任意曲線區域則還涉及面積的逼近性質。

例題3 由面積比找長度比

兩個相似三角形，大者面積是小者的9倍。大者一邊對應小者4公分，求大者這條邊。

1. 由小到大的正倍率k滿足k²＝9。
2. 正倍率只取k＝3，不取−3。
3. 對應邊長＝4 × 3＝12公分。
4. 若錯把邊長也乘9，面積會變成81倍，與題意不符。

例題4 三角形中點連線

在非退化△ABC中，D為AB中點、E為AC中點。證明DE＝BC/2且DE平行BC。

1. 中點給出AD/AB＝AE/AC＝1/2，且D、E分別在從A出發的兩條邊上。
2. ∠DAE與∠BAC是同一個角，兩邊成比例且夾角相同，所以△ADE與△ABC相似。
3. 對應D對B、E對C，得到DE/BC＝1/2，所以DE＝BC/2。
4. 相似另給∠ADE＝∠ABC；因AD與AB共線，這是一對同位角相等，由平行線的逆判定得DE平行BC。

這裡不是先看圖判定平行再證明相似；中點與共同夾角先提供相似條件，平行是後得的結論。

4.4 常見錯誤與本章回顧

比例式先固定新舊方向，再一一核對對應邊。相同面積不保證相似；相似也不保證全等。長度、周長、面積的倍率依序為k、k、k²；立體體積的k³留待第9章處理。

4.5 練習

1. B03-C04-Q01　三邊3、4、5公分的三角形放大2倍，新三邊為何？
2. B03-C04-Q02　相似圖形的一組對應邊由6變9公分，原來8公分的對應邊變多長？
3. B03-C04-Q03　比例尺1:200，圖上5公分代表實際幾公尺？
4. B03-C04-Q04　實際30公尺畫成3公分，比例尺為何？
5. B03-C04-Q05　統一放大3倍，周長與多邊形面積各變成幾倍？
6. B03-C04-Q06　兩相似多邊形面積比為16:25，依同一方向的對應邊比是多少？
7. B03-C04-Q07　2×8與4×4的兩個長方形面積都16，是否必相似？
8. B03-C04-Q08　三邊3、4、5與6、8、11的兩三角形是否相似？
9. B03-C04-Q09　三角形一邊14公分，另兩邊中點的連線長多少？
10. B03-C04-Q10　比例尺1:1000的平面圖中，一塊區域面積0.002平方公尺，實際面積是多少平方公尺？假定圖形為統一比例的精確模型。

4.6 完整解答

Q01

每條對應邊同乘2，得到6、8、10公分。三個比6/3、8/4、10/5都等於2，不可只改其中兩邊。

Q02

新比舊的倍率為9/6＝3/2，另一邊＝8 × 3/2＝12公分。反向12 ÷ (3/2)＝8，對回原長度。

Q03

實際長度＝5 × 200＝1000公分＝10公尺。比例尺中的兩個數必須先用相同單位比較。

Q04

30公尺＝3000公分，圖上比實際＝3:3000＝1:1000。若先拿3除30而忽略單位，就會少掉100倍。

Q05

每條邊乘3，周長加總也乘3。底與高都乘3，面積乘3²＝9。面積的單位是平方長度，因此不能只乘3。

Q06

正長度比的平方是16/25，取正平方根得到4/5，所以對應邊比4:5。不取−4:5，因為本書倍率是正數。

Q07

不相似。第一個長方形長邊比短邊為8/2＝4，第二個為4/4＝1，形狀比例不同。面積相同只是一個數值條件，不能取代全部對應長度的比例。

Q08

不相似。按長短排序後，6/3＝2、8/4＝2，但11/5≠2，沒有同一倍率。兩組邊長本身均能構成三角形；失敗的是相似條件，而不是圖形不存在。

Q09

中點連線的倍率是1/2，所以長14 × 1/2＝7公分。理由是兩邊中點與共同夾角建立的小三角形與原三角形相似。

Q10

由圖到實際，長度倍率1000，面積倍率1000²＝1,000,000。實際面積＝0.002 × 1,000,000＝2000平方公尺。已經以平方公尺表示，不再重複換一次公分單位。

4.7 延伸閱讀方向

相似能把難量的距離轉為可量的對應長度，但實際測量仍帶誤差。下一章先把面積公式的分割理由補齊，再利用倍率檢查公式是否合理。