第5章 面積的分割與拼合

周長量邊界有多長，面積量區域占了多少平面。把一張紙切成數塊再移動，外框可能改變，但只要沒有重疊或遺漏，總面積保持不變。本章用這個加法性推導常見公式。

先備是長方形、三角形及長度單位。讀完應能辨認底與垂直高、用分割核對公式，並以平方單位寫答案。本章區域均採通常的平面面積，不把線段本身當成有正面積的長條。

5.1 單位正方形與長方形

面積以單位正方形為基準，長方形邊長為a、b時面積是ab。整數邊長可逐格計數；有分數邊長時，可先把單位格細分再計數。對一般實數邊長，公式沿用面積對細分逼近的相容性，不宣稱能用有限個像素精確數完。

例題1 分數邊長仍有平方單位

長方形長4.5公分、寬3公分，求面積。

1. 可把4.5公分看作9個半公分，3公分看作6個半公分。
2. 小正方形每邊0.5公分，面積0.5 × 0.5＝0.25平方公分，共9 × 6＝54格。
3. 總面積＝54 × 0.25＝13.5平方公分，也等於4.5 × 3。
4. 邊長單位各出現一次，公分乘公分才是平方公分；不是13.5公分。

5.2 平行四邊形與三角形的高

平行四邊形是兩組對邊各自平行的四邊形。平行四邊形可以分割、平移拼成同底同高的長方形，總面積不變，所以面積＝底 × 垂直高。常見的「沿高剪移一個端部三角形」圖法，須有合適的垂足位置；斜移量超過一個底長時不能直接照搬一次剪移。一般情況先把所選底邊放成水平，每隔一個底長畫垂直分割線，再把各直條中的部分水平移動整數個底長，移入同一個底長寬的長方形。原圖在每個水平高度的截段都恰長一個底長，所以移入後恰好覆蓋長方形，各塊內部不重疊也不遺漏。高是兩平行底邊所在直線的距離，不是斜邊長。

例題2 兩個三角形拼成平行四邊形

三角形底8公分，對應垂直高5公分，求面積。

1. 取一個全等副本，旋轉180°後沿適當邊拼合，可得到底8公分、高5公分的平行四邊形。
2. 拼成的面積＝8 × 5＝40平方公分。
3. 兩個全等三角形面積相同且內部不重疊，所以每個面積＝40 ÷ 2＝20平方公分。
4. 反查2 × 20＝40。鈍角三角形的高足可能在底邊延長線上，公式仍使用到該直線的垂直距離，不改成斜邊長。

例題3 梯形公式來自兩份拼合

梯形兩條平行底邊長4、10公分，兩底所在直線的距離為3公分，求面積。

1. 取一個全等梯形副本，轉動後與原形拼成平行四邊形。
2. 拼成的底長為4＋10＝14公分，高仍為3公分。
3. 兩份總面積＝14 × 3＝42平方公分。
4. 原梯形面積＝42 ÷ 2＝21平方公分，也就是(上底＋下底) × 高 ÷ 2。

5.3 面積相減與邊界改變是兩回事

例題4 切去一個角落

10公分乘8公分的長方形，在右上角切去4公分乘3公分的長方形。求剩餘面積與周長。

1. 原面積＝10 × 8＝80平方公分，切去面積＝4 × 3＝12平方公分。
2. 切口完全位於原形內，剩餘面積＝80−12＝68平方公分。
3. 原外邊界少掉上方4公分與右側3公分，卻多出凹口內的水平4公分與垂直3公分。
4. 少掉與新增的總長相同，所以周長仍為2 × (10＋8)＝36公分。
5. 面積變小不代表周長一定變小；本題也不能把切去小長方形的周長14公分整個加到原周長上。

5.4 常見錯誤與本章回顧

分割時確認各塊內部不重疊、合起來恰為原區域；相減時確認被減區域確實在其中。公式中的高一定垂直於所選底邊。每次計算也分清自己在加面積還是在沿邊界加長度。

5.5 練習

1. B03-C05-Q01　長7公分、寬2.5公分的長方形，面積多少？
2. B03-C05-Q02　平行四邊形底6公分、垂直高4公分、斜邊5公分，面積多少？
3. B03-C05-Q03　三角形底9公分、高6公分，面積多少？
4. B03-C05-Q04　梯形平行底邊5、11公分，高4公分，面積多少？
5. B03-C05-Q05　正方形邊長1.2公尺，面積多少平方公尺？
6. B03-C05-Q06　2平方公尺等於多少平方公分？
7. B03-C05-Q07　2×8與4×4的長方形面積相同，周長也相同嗎？
8. B03-C05-Q08　鈍角三角形底10公分，頂點到底邊所在直線的垂直距離3公分，高足在邊的延長線上，面積多少？
9. B03-C05-Q09　長12、寬9公分的外框內挖去一個8×5公分的矩形孔，求剩餘面積，不求周長。
10. B03-C05-Q10　長方形寬5公分、長由8增加為10公分。用分割說明新增面積，再核對總面積。

5.6 完整解答

Q01

面積＝7 × 2.5＝17.5平方公分。把2.5拆為2＋0.5，也得14＋3.5＝17.5，兩種分割一致。

Q02

面積＝底 × 垂直高＝6 × 4＝24平方公分。斜邊5公分不是高，不能用6 × 5；斜邊與底的夾角不為直角。

Q03

兩個全等三角形合成面積9 × 6＝54的平行四邊形，所以原面積＝54 ÷ 2＝27平方公分。

Q04

兩份梯形拼成底5＋11＝16公分、高4公分的平行四邊形。原面積＝16 × 4 ÷ 2＝32平方公分。

Q05

兩邊長同為1.2公尺，面積＝1.2²＝1.44平方公尺。計算1.2 × 1.2的結果不是2.4；後者是兩條邊的長度和。

Q06

1公尺＝100公分，所以1平方公尺＝100 × 100＝10,000平方公分。2平方公尺＝20,000平方公分，面積換算要平方長度倍率。

Q07

第一個周長＝2 × (2＋8)＝20，第二個＝2 × (4＋4)＝16，並不相同。相同的16平方單位面積不能唯一決定邊界長。

Q08

面積＝10 × 3 ÷ 2＝15平方公分。高是到直線的垂直距離，高足在延長線上不使公式失效；若改用頂點到底邊端點的斜距，才會用錯量。

Q09

外框面積＝12 × 9＝108，孔面積＝8 × 5＝40平方公分。孔在外框內，所以剩餘108−40＝68平方公分。孔的位置會影響某些邊界描述，但不改本題已知的面積差。

Q10

新增區域是一條長10−8＝2公分、寬5公分的矩形，面積2 × 5＝10平方公分。原面積8 × 5＝40，加上新增10得到50，正好等於10 × 5。這是分配律(8＋2) × 5＝8 × 5＋2 × 5的面積解釋。

5.7 延伸閱讀方向

下一章把面積分割用在一般定理的證明。數一個3、4、5邊長圖的面積可以做驗算，但只有保留任意正邊長與直角條件，才是在證明所有直角三角形的關係。