第7章 反例與錯誤推理

7.1 反例必須擊中原句

要推翻「對所有x∈D，只要P(x)就有Q(x)」，反例必須同時通過三關：x確實屬於D、P(x)確實成立、Q(x)確實失敗。只找到結論失敗但前提也失敗的對象，並沒有推翻蘊涵。

若命題對某個明示有限集合的全部元素成立，完整枚舉可以證明那個有限版本。若論域是所有整數或實數，任意選一個很大的有限測試範圍，都不能自動延伸為一般證明。

7.2 例題

例題1 推翻一個過強全稱句

「每個質數都是奇數」為假。取p=2：2>1且正因數只有1、2，所以它真的是質數；但2為偶而非奇。這個見證完整符合反例資格。

取p=1就不合格，因為1不是質數。修正版「每個大於2的質數都是奇數」可以另外證明：若大於2的質數為偶，2就成為不同於1與它本身的正因數，與質數資格衝突。

例題2 除以零藏在約分中

有人令a=b=1，由a²=ab減去b²，得到(a−b)(a+b)=b(a−b)，再約去a−b，得a+b=b，最後聲稱2=1。問題出在約去的因子a−b=0。

原等式只是0·2=0·1，兩邊同為0，不包含2=1。等式兩邊乘以0合法，但不能一般反推乘之前相等。每次約分都要先核對被約的因子非零。

例題3 平方後記得回查

解實數方程√(x+2)=x。原式要求x+2≥0，且左邊非負使x≥0。平方得到x+2=x²，整理為(x−2)(x+1)=0，候選是2與−1。

回查原條件，−1不符合x≥0；直接代回也有√1=1≠−1。2代回為√4=2，所以解集只有{2}。平方後的式子給必要條件，不保證每個候選都是原解。

例題4 有限資料不能決定所有輸入

規則f(n)=n+1與g(n)=n+1+n(n−1)(n−2)在n=0、1、2時相同，因額外因子乘積均為0。但n=3時f(3)=4、g(3)=10。

因此三個輸入輸出資料不能唯一決定整數上的一般規則。這不表示所有有限資料都毫無用途；若另加「規則為一次多項式」且給足不同點，就有另一個帶條件的唯一性問題。

7.3 錯誤的層次不同

反例推翻的是命題；指出某一段證明無效，只代表該段尚未建立命題。命題可能仍真，只是需要另一個有效證明。例如「所有整數n都有n²≥0」是真的，但「我試了0到100，所以全部都對」不是它的一般證明。

還有一類錯誤是結論比證據更強。找到一組使方程成立，只建立存在；要說「唯一」需再排除其他解，要說「所有解」需給完整性理由。

7.4 練習

1. B05-C07-Q01 推翻「每個偶整數都是4的倍數」，逐項核對反例資格。
2. B05-C07-Q02 命題是「正實數x都有1/x>0」。能否用x=0當反例？
3. B05-C07-Q03 推翻「所有實數x都有x²≥x」，並說明x=2為何不是反例。
4. B05-C07-Q04 從ac=bc推a=b，需要什麼額外條件？給出缺條件時的反例。
5. B05-C07-Q05 解√(x+6)=x，列條件、候選與原式回查。
6. B05-C07-Q06 寫出兩個不同的整數多項式規則，在n=0、1時相同，在n=2時不同。
7. B05-C07-Q07 「對整數n，若n²為偶數，則n為偶數」是真的。若證明只寫n=2、4、6的平方，缺了什麼？
8. B05-C07-Q08 「存在x∈ℝ使x²=4，所以解唯一」哪裡過強？列出全部實數解。
9. B05-C07-Q09 找出兩個集合A、B使A∪B的元素個數不等於|A|+|B|，並給出正確的有限集合公式。
10. B05-C07-Q10 推翻「若a/b=c/d，則a=c且b=d」，交代分母資格。

7.5 完整解答

Q01

取n=2，它是整數且為偶數，因2=2·1；但若2=4k，則k=1/2不是整數，所以2不是4的倍數。論域、前提成立、結論失敗三項都通過，故是合格反例。

Q02

不能。0不屬於正實數論域，而且1/0在本題沒有定義。這不是「結論為假」的合格輸入，而是根本未通過資格。原命題已可由第6章的正數倒數證明成立。

Q03

取x=1/2∈ℝ，其平方1/4小於1/2，所以推翻原句。x=2雖屬於論域，卻有4≥2，讓結論成立，不是反例。找反例不是只找一個方便計算的輸入。

Q04

在實數中，若c≠0，就可兩邊除以c，得到a=b。缺此條件時取a=1、b=2、c=0，便有ac=bc=0，卻a≠b。這也說明乘法相等不一定能逆向取消共同因子。

Q05

原式要求x≥0，這也使x+6≥0。平方得x+6=x²，即(x−3)(x+2)=0，候選3、−2。−2不符非負條件且代回為2≠−2；3代回√9=3，故解集{3}。兩個候選都經過原條件核對。

Q06

可取f(n)=n、g(n)=n+n(n−1)。n=0、1時附加乘積為0，故同值；n=2時f(2)=2、g(2)=4，確實不同。這是明確構造，不只聲稱「應該可以有別的公式」。

Q07

那只處理三個前提成立的例子，沒有對任意整數建立理由。可以補第6章的逆否：非偶整數為2k+1，其平方仍奇，於是平方偶就排除原數非偶的可能。原命題真，不代表每個聲稱證明它的文字都有效。

Q08

存在性沒有包含「至多一個」。由x²−4=(x−2)(x+2)=0，零乘積性質給出x=2或−2；兩個不同候選代回都成立，所以解集{−2,2}。這同時給出存在、非唯一與全部解的完整性。

Q09

取A={1,2}、B={2,3}，聯集有3個元素，但|A|+|B|=4。共同元素2在右側被算了兩次；正確公式為|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|。有限集合可分成A獨有、交集、B獨有三塊，逐塊計數即可證明公式。

Q10

取a=1、b=2、c=2、d=4，兩個分母都非零，且1/2=2/4；但a≠c且b≠d。分數表示可以不同卻是同一個有理數。若要求約分後的規範形式，才需要另列條件並證明唯一性。

7.6 本章回看

失敗的證明與假的命題不同；有限驗算與全稱證明也不同。下一章把「已做一段，如何保證下一段」變成有明確起點的歸納推理。