第1章 多變數函數與等高線

1.1 同一個函數的三種圖

二變數實函數 f:D→ℝ 把一對輸入 (x,y) 送到一個實數。D 是定義域；畫圖前要先找它，例如分母不能為零、實數平方根的被開方量必須非負。公式相同但定義域不同，能取到的值和後來的極值也可能不同。

曲面是三維中的 (x,y,f(x,y))，其中 (x,y)∈D。固定 y=b 時，只對滿足 (x,b)∈D 的 x 取 f(x,b)，它的圖是曲面在 y=b 平面中的截線。這個定義域可能只含幾段，甚至為空。固定輸出 c 則得到輸入平面中的等高集合 f(x,y)=c。等高集合可能是曲線、單點、整片區域或空集合。比較等高線距離時，也要核對相鄰的高度差。

1.2 四個例題

例題1 先找定義域，再取值

f(x,y)=√(4−x²−y²) 要求 4−x²−y²≥0，所以 D 是半徑 2 的閉圓盤。原點取值 2，(1,1) 取值 √2，邊界取值 0。由 0≤x²+y²≤4，且沿 x 軸可達每個半徑，值域是從 0 到 2 的閉區間。

例題2 由高度反推半徑

f(x,y)=x²+y²。高度 c=4 要求 x²+y²=4，半徑 2；c=0 只剩原點；c<0 沒有點，因平方和非負。這三種等高集合來自同一曲面。

例題3 固定座標不固定高度

z=x²−y²。在 y=1 的切片上是 z=x²−1，頂點高度 −1；在 x=1 的切片上是 z=1−y²，頂點高度 1。同一曲面沿兩個方向，一邊向上開口、一邊向下。

例題4 限制定義域會截掉等高線

令 f(x,y)=x+y，只在 x≥0、y≥0 且 x+y≤2 的三角形上定義。高度 1 的點是 (t,1−t) 且 0≤t≤1；若忽略定義域，就會把它誤畫成整條直線。

1.3 練習

1. B09-C01-Q01 求 f(x,y)=1/(x−y) 的定義域，並算 f(3,1)。
2. B09-C01-Q02 寫出 f(x,y)=2x−y 在 y=2 的截線。
3. B09-C01-Q03 求 x²+4y²=4 的四個軸截點。
4. B09-C01-Q04 若 f(x,y)=3，描述 c=3 與 c=0 的等高集合。
5. B09-C01-Q05 求 g(x,y)=√(x+y−1) 的定義域及 g(2,3)。
6. B09-C01-Q06 f(x,y)=xy 的零等高集合是什麼？
7. B09-C01-Q07 f(x,y)=xy 的高度 2 是否包含 (1,2) 與 (−1,2)？
8. B09-C01-Q08 在 0≤x≤1、0≤y≤2 上找 2x+y 的值域。
9. B09-C01-Q09 把 x²+y²=9 放回曲面 z=x²+y²，截線在什麼平面？
10. B09-C01-Q10 f=x²+y² 與 g=2(x²+y²) 的等高圖有何關係？

1.4 完整解答

Q01

分母 x−y 不能為 0，排除直線 x=y。點 (3,1) 合法，代入得 1/(3−1)=1/2。

Q02

以 2 固定 y，留下 z=2x−2。它在平面 y=2 內，並不要求 z=2。

Q03

令 y=0 得 x=±2，截點為 (−2,0)、(2,0)。令 x=0 得 y=±1，截點為 (0,−1)、(0,1)。因此橢圓較寬的一軸沿 x。

Q04

每個合法輸入都輸出 3，所以 c=3 的集合是整個定義域；c=0 的集合是空的。

Q05

被開方量要非負，故 x+y≥1。代入點 (2,3)，根號內是 4，所以 g(2,3)=2。

Q06

乘積為零若且唯若至少一個因子為零，故集合是 x 軸與 y 軸的聯集，兩支在原點相交。

Q07

第一點乘積 1·2=2，在等高集合；第二點乘積 −1·2=−2，不在其中。

Q08

各項非負且 2x+y≤2+2=4。沿 (t,2t) 讓 0≤t≤1，輸出 4t 走遍整段，因此值域是從 0 到 4 的閉區間。

Q09

等高圓每點皆有輸出 9，所以其三維對應是平面 z=9 中的半徑 3 圓，而不是 y=9 的切片。

Q10

g 的高度 c 對應 f 的高度 c/2，因 2f=c 等價於 f=c/2。圓形幾何家族相同，但同一個圓的標高加倍，不能只看間距就說兩者同樣陡。