第3章 方向導數與梯度

3.1 把變化率投到指定方向

設 p 為定義域內點，u 為單位向量。方向導數是 t→0 時 (f(p+tu)−f(p))/t 的極限。位移長度為 |t|，所以這是按單位方向量得的一階變化率。若用一般速度 v，不正規化時算到的是沿 p+tv 的時間變化率。

若 f 在 p 可微，將位移 tu 代入線性近似，得到 Dᵤf(p)=∇f(p)·u，其中 ∇f=(fₓ,fᵧ) 為梯度。內積的絕對值至多為 ∇f 的長度；梯度非零時，沿 ∇f/‖∇f‖ 最陡上升，反方向最陡下降。梯度為零時，每個方向的一階變化都為零，不能從這點判斷極值。

若 f 在 p 可微，且可微曲線 γ 滿足 γ(0)=p 並留在同一等高集合，沿 γ 的高度不變。曲線位移是 tγ′(0) 加上比 |t| 更小的量，所以位移長度至多為常數乘 |t|。把它代入 f 的可微式，除以非零 t 再取極限，餘項趨零，得 ∇f(p)·γ′(0)=0。當梯度與切向量均非零，兩者垂直。

3.2 四個例題

例題1 先把方向變成單位向量

f=x²+y²，在 p=(1,2)，∇f=(2,4)。方向 v=(3,4) 長 5，所以 u=(3/5,4/5)。Dᵤf=2·3/5+4·4/5=22/5；若直接乘 v 則是時間變化率 22。

例題2 找最陡上升與下降

f=3x−4y，梯度恆為 (3,−4)，長度 5。上升最快沿 (3/5,−4/5)，變化率 5；反方向得 −5。若只問最大變化率，不應答向量。

例題3 等高切向可用內積檢查

p=(1,2) 在 x²+y²=5 上。半徑方向為 (1,2)，候選切向 v=(−2,1) 與其垂直。用 u=v/√5，梯度點乘得 (−4+4)/√5=0。這只說一階變化為零，不是沿直線移動永遠等高。

例題4 方向導數全有也不夠

令 f=x³y/(x⁶+y²) 於非原點，f(0,0)=0。沿 (ta,tb)，若 b≠0，差商化成 t a³b/(t⁴a⁶+b²)，趨 0；b=0 時恆為 0。因此每個單位方向導數都是 0。但沿 (t,t³)，t≠0 時 f=1/2，原點不連續，更不可能可微。

3.3 練習

1. B09-C03-Q01 求 f=xy+y² 的梯度。
2. B09-C03-Q02 上題在 (2,1) 沿 (1,0) 的方向導數？
3. B09-C03-Q03 f=2x+y，沿 (1,1) 的單位方向，方向導數多少？
4. B09-C03-Q04 ∇f(p)=(0,−7)，最大方向導數及方向？
5. B09-C03-Q05 梯度 (2,3) 對方向 v=(3,−2) 的方向導數？
6. B09-C03-Q06 若 f 在原點可微且梯度為零，原點一定極值嗎？
7. B09-C03-Q07 f=x²+y²，在 (1,0) 沿 (0,1) 移動 t，實增量為何？
8. B09-C03-Q08 ∇f(p)=(3,4)，沿速度 v=(0,2) 的時間變化率與單位方向變化率？
9. B09-C03-Q09 沿曲線 γ(t)=(cos t,sin t)，f=x²+y²，於 t=0 驗梯度與切向正交。
10. B09-C03-Q10 若輸入方向向量 v=0，能用 v/‖v‖ 取方向嗎？

3.4 完整解答

Q01

偏導分別為 y 與 x+2y，所以 ∇f=(y,x+2y)。

Q02

代入梯度為 (1,4)，與 (1,0) 內積是 1，即該點的 x 偏導。

Q03

向量長 √2，先除以 √2；(2,1)·(1,1)/√2=3/√2。

Q04

梯度長 7，沿 (0,−1) 得 7；雖然 y 偏導為負，向下走才最快增加。

Q05

v 長 √13，梯度點乘 v 為 2·3−3·2=0，因此除以長度後仍為 0。

Q06

不一定。f=x²−y² 的梯度在原點為零，沿 x 軸為正，沿 y 軸為負，任意小鄰域都有比 0 大及小的值。

Q07

該方向導數是 0；但 f(1,t)−f(1,0)=t²。沿切線的變化只是比一階更小，並非完全為 0。

Q08

時間率 (3,4)·(0,2)=8；單位方向 (0,1) 給 4。兩者相差速度大小 2。

Q09

γ(0)=(1,0)、γ′(0)=(0,1)，∇f=(2,0)。內積 0，與 f(γ(t)) 恆為 1 一致。

Q10

不能，分母為 0，零向量沒有方向；常值路徑 p+tv=p 的時間導數是 0，和單位方向導數不是同一件事。