第九冊 v0.2 · 網站閱讀版

第4章 全微分與鏈式法則

本章小節
  1. 4.1 先對尺寸，再讓微分相乘
  2. 4.2 四個例題
  3. 4.3 練習
  4. 4.4 完整解答

4.1 先對尺寸，再讓微分相乘

對 F:ℝⁿ→ℝᵐ，若 F(p+h)=F(p)+Ah+r(h)，且 ‖r(h)‖/‖h‖→0，就稱 F 在 p 可微，DF(p)=A。矩陣 A 的第 i 列是第 i 個輸出的偏導，第 j 欄描述第 j 個輸入的變化；尺寸是 m×n。這個矩陣稱 Jacobian 矩陣。單一輸出時它是一列，梯度通常寫成欄，兩者互為轉置。

設 G 把輸入映到 F 的定義域，G 在 p 可微，F 在 G(p) 可微。令 k=G(p+h)−G(p)。內層可微式給 k=DG(p)h 加上比 ‖h‖ 更小的量，故 h 夠小時有 ‖k‖≤C‖h‖。對非零 k，外層餘項除以 ‖h‖，可寫成它除以 ‖k‖ 後再乘 ‖k‖/‖h‖，前者趨零、後者有界。若 k=0，外層餘項本來就是零。因此 D(F∘G)(p)=DF(G(p))DG(p)，先作用內層，再作用外層，並各自在指定點取值。

對 f 的小增量，df=∇f(p)·h 是線性預測，Δf=f(p+h)−f(p) 是實際改變。兩者在有限位移時不必相等；近似誤差要用模型或界估計。

輸入位移先經內層微分，再經外層微分；兩個矩陣的中間尺寸相等。
圖7｜輸入位移先經內層微分，再經外層微分；兩個矩陣的中間尺寸相等。

4.2 四個例題

例題1 沿曲線算兩個輸出的速率

令 F(x,y)=(x²+y,xy)，γ(t)=(t,2t)。DF=[2x,1;y,x]；在 γ(1)=(1,2) 成 [2,1;2,1]。乘 (1,2)ᵀ 得 (4,4)ᵀ。直接把 F∘γ 寫成 (t²+2t,2t²) 再微分，在 1 也得同值。

沿 γ(t)=(t,2t) 到 t=1，將 γ′(1)=(1,2) 乘進 DF(1,2)，得到速度 (4,4)。
圖8｜沿 γ(t)=(t,2t) 到 t=1，將 γ′(1)=(1,2) 乘進 DF(1,2)，得到速度 (4,4)。

例題2 兩條路徑都會影響輸出

令 u=x+y、v=x−y，w=u²+3v。對 x 改變，u 與 v 都以速率 1 改變，wₓ=2u+3；對 y 改變，u 速率 1、v 速率 −1，wᵧ=2u−3。在 (2,1) 的 u=3，得到 (9,3)。

例題3 量測誤差要保留單位

面積 A(L,W)=LW，L=10 cm、W=4 cm，誤差 h=1/10 cm、k=−1/5 cm。dA=4h+10k=−8/5 cm²，實增量再加 hk=−1/50 cm²，得 −81/50 cm²。小誤差盒若只知道 |h|≤1/10、|k|≤1/5，就有 |dA|≤12/5 cm²、|hk|≤1/50 cm²。

例題4 中間空間可有不同維度

G(t)=(t,t²,t³)，F(x,y,z)=(x+y,z−y)。DF 是 2×3 的 [1,1,0;0,−1,1]，DG(2)=(1,4,12)ᵀ 是 3×1，結果 (5,8)ᵀ。反乘的尺寸不合，且不代表同一個複合。

4.3 練習

  1. B09-C04-Q01 寫 F(x,y)=(x+y²,3xy) 的 Jacobian。
  2. B09-C04-Q02 上題在 (1,2) 的微分作用於 (1,−1) 會得到什麼？
  3. B09-C04-Q03 令 z=xy、x=t²、y=1+t，求 t=1 的 dz/dt。
  4. B09-C04-Q04 w=eᵘ、u=x−2y，求兩個偏導。
  5. B09-C04-Q05 G:ℝ²→ℝ³、F:ℝ³→ℝ⁴，兩者在鏈式法則所需點可微時，D(F∘G) 的尺寸為何？
  6. B09-C04-Q06 對 f=x²+y，在 (3,1) 取 h=−1/10、k=1/5，求 df。
  7. B09-C04-Q07 若 f(x,y)=x²+y²，且 γ(t)=(t,t)，求 (f∘γ)′(2)。
  8. B09-C04-Q08 只知 DG(p)=0，能保證複合在 p 可微且微分為零嗎？
  9. B09-C04-Q09 令 F(u,v)=u−v、G(x,y)=(xy,x+y)。在 (2,3) 求複合的 Jacobian。
  10. B09-C04-Q10 A=LW 且兩邊皆增 1 cm，為何 ΔA 和 dA 相差 1 cm²？

4.4 完整解答

Q01

逐輸出取偏導成兩列：第一列 (1,2y)，第二列 (3y,3x)，故是 [1,2y;3y,3x]。

Q02

DF(1,2)=[1,4;6,3]，乘位移欄得 (1−4,6−3)ᵀ=(−3,3)ᵀ。

Q03

zₓ=y=2、zᵧ=x=1，x′=2、y′=1，所以 dz/dt=2·2+1·1=5。

Q04

外層對 u 求導得 eᵘ；uₓ=1、uᵧ=−2，所以偏導為 e^(x−2y) 與 −2e^(x−2y)。

Q05

DG 為 3×2，DF 為 4×3。DF 左乘 DG，得到 4×2，正是四個輸出對兩個輸入。

Q06

偏導為 (6,1)，故 df=6·(−1/10)+1/5=−2/5。實增量比它多 h²=1/100。

Q07

複合是 2t²，導數 4t 在 2 為 8；用梯度 (4,4) 點乘 (1,1) 也得 8。

Q08

只知 DG(p)=0，不能保證。取 G(t)=t³、F(s)=實數立方根 ∛s。在 0 有 G′(0)=0，但複合恆為 t，導數是 1。也可取 G(t)=t²、F(s)=√|s|，複合為 |t|，在 0 不可微。若另知 F 在 G(p) 可微，鏈式法則才給 DF(G(p)) 乘零矩陣，所以複合微分為零。

Q09

DF=(1,−1)，DG 在點上為 [3,2;1,1]。相乘得 (2,1)；直接微分 xy−x−y 亦然。

Q10

展開 (L+1)(W+1)−LW 得 L+W+1，線性項是 L+W。

實增量減線性預測，就是兩個邊長增量相乘，等於 1 cm²。