第7章 等式約束與Lagrange乘數

7.1 只沿可行方向檢查變化

設 p=(a,b) 是 g(x,y)=c 上 f 的局部極值點，且鄰近 p 的這段等高曲線都可行。取 f、g 在 p 的開鄰域可微，g 的一階偏導連續，並且 ∇g(p)≠0。若 gᵧ(p)≠0，隱函數定理將附近等高曲線寫成 y=φ(x)，其中 φ(a)=b、φ′(a)=−gₓ(p)/gᵧ(p)。沿曲線的一維函數在 x=a 有局部極值，故 fₓ(p)−fᵧ(p)gₓ(p)/gᵧ(p)=0。取 λ=fᵧ(p)/gᵧ(p)，便得 ∇f(p)=λ∇g(p)。若 gₓ(p)≠0 可對調座標。額外限制形成的端點另查。

因此先解 g=c 與 ∇f=λ∇g 找正則候選，再另查 ∇g=0 的可行點與額外邊界或端點。乘數條件只必要，不能當極值保證。若可行集非空、閉且有界且 f 連續，才可用極值定理保證最值存在，再比較候選值。

7.2 四個例題

例題1 在圓周上找最大與最小

f=x+2y，g=x²+y²=1。圓上 ∇g=(2x,2y) 非零。由 (1,2)=λ(2x,2y)，點必為 (1,2)/√5 或其負向。代 f 得 ±√5。圓周緊緻且 f 連續，兩點就是最大與最小。

例題2 線段上的端點也要算

最大化 xy，約束 x+y=6、x,y≥0。內部乘數條件 (y,x)=λ(1,1) 給 x=y=3，值 9。端點 (6,0)、(0,6) 值 0。代 y=6−x 也得 xy=9−(x−3)²，在整段最大 9、最小 0。

例題3 奇異點可能漏在方程組之外

約束 x²+y²=0 只有原點，f=x 在這個集合上同時達到最大與最小。但 ∇g(0,0)=0，而 ∇f=(1,0)，找不到乘數。這是正則性缺失，不是極值不存在。

例題4 最接近原點的可行點

在 x+2y=5 上最小化 x²+y²。正則條件 (2x,2y)=λ(1,2) 給 y=2x，再代約束得 (1,2)。可行點減 (1,2) 的位移 d 滿足 (1,2)·d=0，所以平方距離為 5+‖d‖²，確證唯一最小，即使直線不緊緻。

7.3 練習

1. B09-C07-Q01 在 x²+y²=4 上最大化 x。
2. B09-C07-Q02 在 x+y=4 上最小化 x²+y²。
3. B09-C07-Q03 在 x²+y²=1 上找 f=xy 的最大與最小。
4. B09-C07-Q04 在 x+y=5、x,y≥0 上最小化 xy。
5. B09-C07-Q05 g=x²+y²=0 的可行點是否正則？
6. B09-C07-Q06 g=y²=0 和 g=y=0 代表同一集合，正則性是否一樣？
7. B09-C07-Q07 若 ∇f=2∇g 且沿可行曲線的切向量為 v，一階變化為何？
8. B09-C07-Q08 在 y=0 上，f=x³ 於原點符合乘數條件嗎？是極值嗎？
9. B09-C07-Q09 在 x−y=0 上，f=x+y 有全域最值嗎？
10. B09-C07-Q10 比較 ∇f=λ∇g 和 ∇f=0 的適用處。

7.4 完整解答

Q01

x≤2，且 (2,0) 可行，達到 2。乘數式 (1,0)=λ(2x,2y) 也給 y=0，兩個候選 x=±2；較大者為 2。

Q02

正則乘數式給 x=y，故 x=y=2。代 y=4−x 得 2(x−2)²+8，最小值 8，並確認為全域。

Q03

乘數式為 (y,x)=2λ(x,y)。若一個座標為零，另一個也必須為零，與單位圓矛盾。兩式相乘得 4λ²=1，故 y=±x、x²=y²=1/2。x、y 同號時 xy=1/2，異號時 xy=−1/2。圓周緊緻且 f 連續，所有極值都在這些候選點中，所以比較即得全域最大與最小。

Q04

xy≥0，且兩端 (0,5)、(5,0) 皆為零，所以最小值 0。只找內部乘數點 (5/2,5/2) 會漏掉這個最小值。

Q05

只有原點，而 ∇g=(2x,2y) 在該點為零，故不是正則點。可直接檢查可行集的唯一點。

Q06

不一樣。前者梯度 (0,2y) 在線上為零；後者梯度恆為 (0,1)。同一可行集的不同描述，可能有不同的正則性。

Q07

∇g·v=0，故 ∇f·v=2∇g·v=0。這只是一階必要條件，不能宣稱沿曲線值恆定。

Q08

∇f=(0,0)、∇g=(0,1)，取 λ=0 即符合；但 x³ 在左右異號，原點不是局部極值。

Q09

可行點寫 (t,t)，函數值是 2t。隨 t 向正或負無窮可任意大或小，無最大也無最小。

Q10

前者用在正則等式約束的極值，目標只需在可行切向上一階不變；後者用在無約束可微內點的極值，所有方向都可走。兩式都只是必要條件。