第9章 座標變換與Jacobian

9.1 局部線性縮放決定換元因子

換元把新參數 (u,v) 映到舊座標 (x,y)=T(u,v)。小參數矩形的兩條邊，一階近似分別映成 DT 的兩欄乘各自邊長。因此面積縮放取 |det DT|；若 det 為負，代表方向翻轉，面積仍非負。對三維體積同樣取三階 Jacobian 行列式的絕對值。

本章用以下正規換元情形。取有界參數區域 E 與其像區域 D，T 在 E 的閉包的開鄰域連續可微。排除邊界與切縫後，T 將 E 的其餘部分一對一映到 D 的其餘部分，Jacobian 非零且逆連續可微。兩側略去的邊界與切縫都只占零面積或零體積，被積函數在 D 的閉包連續。於是 ∬_D f(x,y) dA=∬_E f(T(u,v)) |det DT(u,v)| du dv。三維同樣以三個參數和體積元素換元。若參數化重複覆蓋正面積區域，直接積分會重複計數。

極座標 x=r cos θ、y=r sin θ，取 r≥0。Jacobian 的兩欄是 (cos θ,sin θ) 與 (−r sin θ,r cos θ)，行列式 r(cos²θ+sin²θ)=r。故 dA=r dr dθ。圓盤可用 0≤θ<2π，中心和角度切縫不改面積積分。柱座標保留 z，故 dV=r dr dθ dz，積分次序按區域選。

9.2 四個例題

例題1 用極座標算圓盤面積

半徑 2 的圓盤，對 1 積 dA。先積 r，從 0 到 2 得 r²/2 的差 2；再乘角度長 2π，得到 4π。若漏乘 r，這一次數字碰巧也為 4π；改半徑 1 就露出錯誤，正確 π、漏乘為 2π。

例題2 環形區域有內半徑

在 1≤x²+y²≤4 積 x²+y²。新函數是 r²，面積元素再乘 r；r 從 1 到 2，θ 掃 2π。結果 2π·(2⁴−1⁴)/4=15π/2。

例題3 方向反轉不是負面積

T(u,v)=(u+v,u−v)，把單位正方形變成平行四邊形。矩陣 [1,1;1,−1] 的 det=−2，故面積是 |−2| 乘 1=2。兩邊向量的有向面積才是 −2。

例題4 用柱座標算拋物面下體積

區域 0≤z≤4−x²−y²，投影圓盤半徑 2。先積 z 得 4−r²，再乘 r，體積為 2π∫ 從 0 到 2 的 (4r−r³) dr=2π·4=8π。徑向上限來自高度不可負。

9.3 練習

1. B09-C09-Q01 極座標 (r,θ)=(2,π/2) 對應哪一點？
2. B09-C09-Q02 求第一象限單位圓盤面積。
3. B09-C09-Q03 半徑 3、角寬 π/6 的扇形面積？
4. B09-C09-Q04 橢圓 x²/4+y²/9≤1 的面積？
5. B09-C09-Q05 求 T(u,v)=(2u+v,u) 的面積縮放。
6. B09-C09-Q06 若將 θ 從 0 掃到 4π，積分 1 於單位圓盤會發生什麼？
7. B09-C09-Q07 半徑 1、高 3 的圓柱體積？
8. B09-C09-Q08 在單位圓盤積 x²+y²。
9. B09-C09-Q09 極座標在 r=0 的行列式為 0，為何仍可計算圓盤面積？
10. B09-C09-Q10 把參數 u、v 交換，面積因子會改變嗎？

9.4 完整解答

Q01

x=2 cos(π/2)=0，y=2 sin(π/2)=2，故是 (0,2)。

Q02

r 從 0 到 1、θ 從 0 到 π/2；徑向積分為 1/2，乘角度長 π/2 得 π/4。

Q03

對 r 從 0 到 3 積得 9/2，乘 π/6 得 3π/4。

Q04

令 x=2u、y=3v，參數區域為單位圓盤，det=6。面積 π 乘 6 得 6π。

Q05

Jacobian [2,1;1,0] 的 det=−1。方向反轉，但 |det|=1，面積不變。

Q06

除切縫與中心外，圓盤幾乎每點被掃兩次。參數積分給 (1/2)·4π=2π，是真面積 π 的兩倍，違反一對一條件。

Q07

取 r∈[0,1]、θ∈[0,2π)、z∈[0,3]，積 r。先 z 得 3r，積 r 與角度後得 3π。

Q08

換成 r² 後乘 r，徑向積分 ∫ 從 0 到 1 的 r³ dr=1/4，再乘 2π，得 π/2。

Q09

r=0 對應單一中心點，面積為零；在 r>0 且避開一條角度切縫時可用換元，缺掉的集合不影響本章的正規積分。

Q10

在對應參數點，交換 u、v 等於將 Jacobian 的兩欄對調。行列式反號，絕對值相同。參數點、參數區域及被積式都要同步改寫，才能表示同一塊區域。