第10章 向量場與積分關係導讀
10.1 積的是切向、法向，還是長度
對分段光滑曲線 γ(t)，標量線積分以 f(γ(t))‖γ′(t)‖ dt 累積，反向不變。向量場的做功型線積分以 F(γ(t))·γ′(t) dt 累積，路徑反向時變號。通量則取 F 的法向分量；封閉平面邊界的外向通量，法向指向區域外側，不是沿切線。
Green 公式把平面邊界的環流連到區域內的旋轉量。取有界區域 D，其邊界是分段光滑簡單閉曲線，逆時針走時 D 在左側。若 F=(P,Q) 在包含 D 及邊界的開鄰域有連續一階偏導，則 ∮(P dx+Q dy)=∬(∂Q/∂x−∂P/∂y) dA。沿此正向邊界，外法向乘弧長元素為 (dy,−dx)，所以外向通量是 ∮(P dy−Q dx)。把 Green 環流式套到 (−Q,P)，即可得到通量為 ∬(∂P/∂x+∂Q/∂y) dA。
在三維，取緊緻且已定向的光滑曲面 S，邊界分段光滑，F 在含 S 的開鄰域一階連續可微。Stokes 公式是 ∮_∂S F·dr=∬_S (∇×F)·n dS，其中 n 是所選單位法向，邊界方向由該曲面方向依右手規則誘導。對平面圓盤，從所選法向那一側看，正向邊界是逆時針。
散度定理取有界立體 V 的封閉分片光滑邊界 ∂V，F 在包含整個立體與邊界的開鄰域一階連續可微。令 n 為外單位法向，則 ∬_∂V F·n dS=∭_V (∇·F) dV。Stokes 積的是曲面及其邊界曲線，散度定理積的是立體及其封閉邊界。
10.2 四個例題
例題1 沿拋物線計算做功
F=(2x,y)，γ(t)=(t,t²)，0≤t≤1。速度 (1,2t)，沿路的場為 (2t,t²)，內積 2t+2t³。積分得 t²+t⁴/2 在 0 到 1 的差 3/2。反走同一路徑得 −3/2。
例題2 用兩種方法核對環流
F=(−y,x)，沿單位圓逆時針 γ(t)=(cos t,sin t)。F(γ)=γ′，內積 1，積分得 2π。Green 右側為 ∂Q/∂x−∂P/∂y=1−(−1)=2，乘圓盤面積 π 也得 2π。
例題3 同一圓上，通量與環流不一樣
F=(x,y)，在單位圓上等於外單位法向，故 F·n=1，外向通量為 2π。F 與切向垂直，環流為 0。把法向改成內向，通量才會變號。
例題4 用散度和面通量互驗
F=(x,y,z)，在單位立方體上散度為 3，積分為 3。直接查面：x=1 面的外法向是 (1,0,0)，通量 1；x=0 面的對應分量為 0。y、z 各自同理，六面總通量 3。
10.3 練習
- B09-C10-Q01 γ(t)=(3t,4t)，0≤t≤1。沿曲線積標量 1。
- B09-C10-Q02 反向走上一條線段，標量線積分會變負嗎？
- B09-C10-Q03 F=(1,2)，沿直線從 (0,0) 到 (3,1) 的做功？
- B09-C10-Q04 把上題路徑反過來，結果為何？
- B09-C10-Q05 對 F=(−2y,x)，求 Green 右側的被積函數。
- B09-C10-Q06 上一向量場沿單位正方形逆時針的環流？
- B09-C10-Q07 F=(2x,0,z) 的散度，以及穿過單位立方體的外向總通量？
- B09-C10-Q08 Stokes 的曲面法向反轉時，邊界如何改？
- B09-C10-Q09 已知一塊開放曲面的法向通量，能直接用散度定理把它當作某立體的總通量嗎？
- B09-C10-Q10 沿正向單位圓，場 F=(x,y) 的做功型積分為何？
10.4 完整解答
Q01
速度恆為 (3,4)，長 5。把 5 從 0 到 1 積得 5；這也是線段長度。
Q02
不會。速度反向但長度不變，標量 f=1 仍沿同一批點累積，所以結果仍為 5。
Q03
γ(t)=(3t,t)，0≤t≤1，內積 (1,2)·(3,1)=5。參數區間長度為 1，所以做功 5。
Q04
速度可寫 (−3,−1)，場不變，內積 −3−2=−5。或用反向線積分變號。
Q05
∂Q/∂x=1、∂P/∂y=−2，差為 3。不能將相減的順序顛倒。
Q06
場是多項式，滿足光滑前提；正方形面積 1，Green 右側積常數 3，故環流 3。順時針則為 −3。
Q07
散度是 2+0+1=3，場在整空間光滑。立方體體積為 1，散度定理給總通量 3。
Q08
反轉曲面法向時，右手規則誘導的邊界方向也反轉，兩邊積分同時變號。以 z=0 的單位圓盤為例，取 F=(−y,x,0)，其旋度為 (0,0,2)。向上法向給逆時針圓周，兩邊積分都是 2π；向下法向給順時針圓周，兩邊都是 −2π。
Q09
不能，散度定理要有封閉邊界。若能補面封閉並滿足光滑條件，須從總通量扣掉補面的通量，並用同一外向規則。
Q10
參數 γ=(cos t,sin t)，F=γ，速度 γ′=(−sin t,cos t)。每點內積都是 −cos t sin t+sin t cos t=0，因此積分為 0。