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All Topological Orders, Source-Removal Traces and Explicit Cycles

This batch has passed Schema, deduplication, source-snapshot, and independent-answer recomputation checks; it is still not marked as human-reviewed.

This question bank has corresponding bilingual step-by-step derivations. Source candidate and English ai_candidate states are retained. AI review, finite computation and Lean formal proof are labelled separately.

batch-20261015-advance-20261116-r06-topological-ordering-dag-foundations · 2026-10-15 · 100 questions

This English edition is an AI candidate and does not yet have an OCME Atlas (GPT-6) Twin closure receipt.

Field order uses a source-bound presentation supplement; canonical JSONL and mathematical answers are unchanged.

Field-order and source-binding data

1. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-order-audit · candidate

2. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-order-audit · candidate

3. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-order-audit · candidate

4. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

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5. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

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6. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

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7. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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8. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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9. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

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10. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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11. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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12. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

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13. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

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14. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-order-audit · candidate

15. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-order-audit · candidate

16. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-order-audit · candidate

17. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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18. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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19. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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20. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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21. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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22. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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23. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v2], 0, 2, Yes], [[v0, v3], 0, 3, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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24. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v4], 0, 4, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v4], 0, 4, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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25. Vertex-Set Equality Is Not Yet a Complete Valid Topological Permutation

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Candidate=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]. Give (vertices, candidate, same_vertex_set, edge_position_rows, valid_topological_order, boundary).

same_vertex_set checks set equality only and can be Yes for a duplicated candidate. valid_topological_order additionally requires the complete permutation and every edge. An invalid candidate does not mean the graph is cyclic.

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle)

The same_vertex_set flag checks the underlying vertex set and may still be Yes for a duplicated candidate. The final validity check additionally requires the exact permutation and every edge order. One invalid candidate does not prove the graph has a directed cycle. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], Yes, [[[v0, v1], 0, 1, Yes], [[v0, v4], 0, 4, Yes], [[v0, v5], 0, 5, Yes]], Yes, invalid_candidate_does_not_itself_prove_a_cycle).

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26. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v4, v0, v1, v5], [v2, v3, v4, v0, v5, v1], [v2, v3, v4, v5, v0, v1], [v2, v3, v5, v0, v1, v4], [v2, v3, v5, v0, v4, v1], [v2, v3, v5, v4, v0, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v2, v4, v3, v5, v0, v1], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v4, v5, v3, v0, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v2, v5, v3, v4, v0, v1], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v2, v5, v4, v3, v0, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v2, v4, v5, v0, v1], [v3, v2, v5, v0, v1, v4], [v3, v2, v5, v0, v4, v1], [v3, v2, v5, v4, v0, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v3, v4, v2, v5, v0, v1], [v3, v4, v5, v0, v1, v2], [v3, v4, v5, v0, v2, v1], [v3, v4, v5, v2, v0, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v2, v0, v1, v4], [v3, v5, v2, v0, v4, v1], [v3, v5, v2, v4, v0, v1], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v3, v5, v4, v2, v0, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v2, v3, v5, v0, v1], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v2, v5, v3, v0, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1], [v4, v3, v2, v5, v0, v1], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v3, v5, v2, v0, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v4, v5, v2, v3, v0, v1], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v4, v5, v3, v2, v0, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v2, v3, v4, v0, v1], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v2, v4, v3, v0, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1], [v5, v3, v2, v4, v0, v1], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v3, v4, v2, v0, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1], [v5, v4, v2, v3, v0, v1], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1], [v5, v4, v3, v2, v0, v1]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v4, v0, v1, v5], [v2, v3, v4, v0, v5, v1], [v2, v3, v4, v5, v0, v1], [v2, v3, v5, v0, v1, v4], [v2, v3, v5, v0, v4, v1], [v2, v3, v5, v4, v0, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v2, v4, v3, v5, v0, v1], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v4, v5, v3, v0, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v2, v5, v3, v4, v0, v1], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v2, v5, v4, v3, v0, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v2, v4, v5, v0, v1], [v3, v2, v5, v0, v1, v4], [v3, v2, v5, v0, v4, v1], [v3, v2, v5, v4, v0, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v3, v4, v2, v5, v0, v1], [v3, v4, v5, v0, v1, v2], [v3, v4, v5, v0, v2, v1], [v3, v4, v5, v2, v0, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v2, v0, v1, v4], [v3, v5, v2, v0, v4, v1], [v3, v5, v2, v4, v0, v1], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v3, v5, v4, v2, v0, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v2, v3, v5, v0, v1], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v2, v5, v3, v0, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1], [v4, v3, v2, v5, v0, v1], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v3, v5, v2, v0, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v4, v5, v2, v3, v0, v1], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v4, v5, v3, v2, v0, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v2, v3, v4, v0, v1], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v2, v4, v3, v0, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1], [v5, v3, v2, v4, v0, v1], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v3, v4, v2, v0, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1], [v5, v4, v2, v3, v0, v1], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1], [v5, v4, v3, v2, v0, v1]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

27. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v4, v0, v2, v5], [v1, v3, v4, v0, v5, v2], [v1, v3, v4, v5, v0, v2], [v1, v3, v5, v0, v2, v4], [v1, v3, v5, v0, v4, v2], [v1, v3, v5, v4, v0, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v3, v0, v2, v5], [v1, v4, v3, v0, v5, v2], [v1, v4, v3, v5, v0, v2], [v1, v4, v5, v0, v2, v3], [v1, v4, v5, v0, v3, v2], [v1, v4, v5, v3, v0, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v3, v0, v2, v4], [v1, v5, v3, v0, v4, v2], [v1, v5, v3, v4, v0, v2], [v1, v5, v4, v0, v2, v3], [v1, v5, v4, v0, v3, v2], [v1, v5, v4, v3, v0, v2], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v4, v0, v2, v5], [v3, v1, v4, v0, v5, v2], [v3, v1, v4, v5, v0, v2], [v3, v1, v5, v0, v2, v4], [v3, v1, v5, v0, v4, v2], [v3, v1, v5, v4, v0, v2], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v1, v0, v2, v5], [v3, v4, v1, v0, v5, v2], [v3, v4, v1, v5, v0, v2], [v3, v4, v5, v0, v1, v2], [v3, v4, v5, v0, v2, v1], [v3, v4, v5, v1, v0, v2], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v1, v0, v2, v4], [v3, v5, v1, v0, v4, v2], [v3, v5, v1, v4, v0, v2], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v3, v5, v4, v1, v0, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v1, v3, v5, v0, v2], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v1, v5, v3, v0, v2], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2], [v4, v3, v1, v5, v0, v2], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v3, v5, v1, v0, v2], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v4, v5, v1, v3, v0, v2], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v4, v5, v3, v1, v0, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v1, v3, v4, v0, v2], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v1, v4, v3, v0, v2], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2], [v5, v3, v1, v4, v0, v2], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v3, v4, v1, v0, v2], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2], [v5, v4, v1, v3, v0, v2], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1], [v5, v4, v3, v1, v0, v2]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v4, v0, v2, v5], [v1, v3, v4, v0, v5, v2], [v1, v3, v4, v5, v0, v2], [v1, v3, v5, v0, v2, v4], [v1, v3, v5, v0, v4, v2], [v1, v3, v5, v4, v0, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v3, v0, v2, v5], [v1, v4, v3, v0, v5, v2], [v1, v4, v3, v5, v0, v2], [v1, v4, v5, v0, v2, v3], [v1, v4, v5, v0, v3, v2], [v1, v4, v5, v3, v0, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v3, v0, v2, v4], [v1, v5, v3, v0, v4, v2], [v1, v5, v3, v4, v0, v2], [v1, v5, v4, v0, v2, v3], [v1, v5, v4, v0, v3, v2], [v1, v5, v4, v3, v0, v2], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v4, v0, v2, v5], [v3, v1, v4, v0, v5, v2], [v3, v1, v4, v5, v0, v2], [v3, v1, v5, v0, v2, v4], [v3, v1, v5, v0, v4, v2], [v3, v1, v5, v4, v0, v2], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v1, v0, v2, v5], [v3, v4, v1, v0, v5, v2], [v3, v4, v1, v5, v0, v2], [v3, v4, v5, v0, v1, v2], [v3, v4, v5, v0, v2, v1], [v3, v4, v5, v1, v0, v2], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v1, v0, v2, v4], [v3, v5, v1, v0, v4, v2], [v3, v5, v1, v4, v0, v2], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v3, v5, v4, v1, v0, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v1, v3, v5, v0, v2], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v1, v5, v3, v0, v2], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2], [v4, v3, v1, v5, v0, v2], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v3, v5, v1, v0, v2], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v4, v5, v1, v3, v0, v2], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v4, v5, v3, v1, v0, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v1, v3, v4, v0, v2], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v1, v4, v3, v0, v2], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2], [v5, v3, v1, v4, v0, v2], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v3, v4, v1, v0, v2], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2], [v5, v4, v1, v3, v0, v2], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1], [v5, v4, v3, v1, v0, v2]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

28. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, 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[v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, 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[v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v5, v0, v1, v2], [v3, v4, v5, v0, v2, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v4, v0, v1, v2], [v3, v5, v4, v0, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v5, v0, v1, v2], [v4, v3, v5, v0, v2, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v3, v0, v1, v2], [v4, v5, v3, v0, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v4, v0, v1, v2], [v5, v3, v4, v0, v2, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v3, v0, v1, v2], [v5, v4, v3, v0, v2, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

29. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v4, v0, v3, v5], [v1, v2, v4, v0, v5, v3], [v1, v2, v4, v5, v0, v3], [v1, v2, v5, v0, v3, v4], [v1, v2, v5, v0, v4, v3], [v1, v2, v5, v4, v0, v3], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v1, v4, v2, v5, v0, v3], [v1, v4, v5, v0, v2, v3], [v1, v4, v5, v0, v3, v2], [v1, v4, v5, v2, v0, v3], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v2, v0, v3, v4], [v1, v5, v2, v0, v4, v3], [v1, v5, v2, v4, v0, v3], [v1, v5, v4, v0, v2, v3], [v1, v5, v4, v0, v3, v2], [v1, v5, v4, v2, v0, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v1, v4, v5, v0, v3], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v1, v5, v4, v0, v3], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v2, v4, v1, v5, v0, v3], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v4, v5, v1, v0, v3], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v2, v5, v1, v4, v0, v3], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v2, v5, v4, v1, v0, v3], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v1, v2, v5, v0, v3], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v1, v5, v2, v0, v3], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3], [v4, v2, v1, v5, v0, v3], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v2, v5, v1, v0, v3], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v4, v5, v1, v2, v0, v3], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v4, v5, v2, v1, v0, v3], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v1, v2, v4, v0, v3], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v1, v4, v2, v0, v3], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3], [v5, v2, v1, v4, v0, v3], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v2, v4, v1, v0, v3], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2], [v5, v4, v1, v2, v0, v3], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1], [v5, v4, v2, v1, v0, v3]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v4, v0, v3, v5], [v1, v2, v4, v0, v5, v3], [v1, v2, v4, v5, v0, v3], [v1, v2, v5, v0, v3, v4], [v1, v2, v5, v0, v4, v3], [v1, v2, v5, v4, v0, v3], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v1, v4, v2, v5, v0, v3], [v1, v4, v5, v0, v2, v3], [v1, v4, v5, v0, v3, v2], [v1, v4, v5, v2, v0, v3], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v2, v0, v3, v4], [v1, v5, v2, v0, v4, v3], [v1, v5, v2, v4, v0, v3], [v1, v5, v4, v0, v2, v3], [v1, v5, v4, v0, v3, v2], [v1, v5, v4, v2, v0, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v1, v4, v5, v0, v3], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v1, v5, v4, v0, v3], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v2, v4, v1, v5, v0, v3], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v4, v5, v1, v0, v3], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v2, v5, v1, v4, v0, v3], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v2, v5, v4, v1, v0, v3], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v1, v2, v5, v0, v3], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v1, v5, v2, v0, v3], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3], [v4, v2, v1, v5, v0, v3], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v2, v5, v1, v0, v3], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v4, v5, v1, v2, v0, v3], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v4, v5, v2, v1, v0, v3], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v1, v2, v4, v0, v3], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v1, v4, v2, v0, v3], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3], [v5, v2, v1, v4, v0, v3], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v2, v4, v1, v0, v3], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2], [v5, v4, v1, v2, v0, v3], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1], [v5, v4, v2, v1, v0, v3]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

30. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v5, v0, v1, v3], [v2, v4, v5, v0, v3, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v4, v0, v1, v3], [v2, v5, v4, v0, v3, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v5, v0, v1, v3], [v4, v2, v5, v0, v3, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v2, v0, v1, v3], [v4, v5, v2, v0, v3, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v4, v0, v1, v3], [v5, v2, v4, v0, v3, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v2, v0, v1, v3], [v5, v4, v2, v0, v3, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

31. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, 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[v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v5, v0, v2, v3], [v1, v4, v5, v0, v3, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v4, v0, v2, v3], [v1, v5, v4, v0, v3, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v5, v0, v2, v3], [v1, v4, v5, v0, v3, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v4, v0, v2, v3], [v1, v5, v4, v0, v3, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v5, v0, v2, v3], [v4, v1, v5, v0, v3, v2], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v4, v5, v1, v0, v2, v3], [v4, v5, v1, v0, v3, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v4, v0, v2, v3], [v5, v1, v4, v0, v3, v2], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1], [v5, v4, v1, v0, v2, v3], [v5, v4, v1, v0, v3, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

32. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v5, v0, v1, v2, v3], [v4, v5, v0, v1, v3, v2], [v4, v5, v0, v2, v1, v3], [v4, v5, v0, v2, v3, v1], [v4, v5, v0, v3, v1, v2], [v4, v5, v0, v3, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v4, v0, v1, v2, v3], [v5, v4, v0, v1, v3, v2], [v5, v4, v0, v2, v1, v3], [v5, v4, v0, v2, v3, v1], [v5, v4, v0, v3, v1, v2], [v5, v4, v0, v3, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

33. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, 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v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v1, v3, v5, v0, v4], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v1, v5, v3, v0, v4], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v2, v3, v1, v5, v0, v4], [v2, v3, v5, v0, v1, v4], [v2, v3, v5, v0, v4, v1], [v2, v3, v5, v1, v0, v4], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v2, v5, v1, v3, v0, v4], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v2, v5, v3, v1, v0, v4], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, 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[v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v1, v2, v3, v0, v4], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v1, v3, v2, v0, v4], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3], [v5, v2, v1, v3, v0, v4], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v2, v3, v1, v0, v4], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2], [v5, v3, v1, v2, v0, v4], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1], [v5, v3, v2, v1, v0, v4]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v3, v0, v4, v5], [v1, v2, v3, v0, v5, v4], [v1, v2, v3, v5, v0, v4], [v1, v2, v5, v0, v3, v4], [v1, v2, v5, v0, v4, v3], [v1, v2, v5, v3, v0, v4], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v2, v0, v4, v5], [v1, v3, v2, v0, v5, v4], [v1, v3, v2, v5, v0, v4], [v1, v3, v5, v0, v2, v4], [v1, v3, v5, v0, v4, v2], [v1, v3, v5, v2, v0, v4], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v2, v0, v3, v4], [v1, v5, v2, v0, v4, v3], [v1, v5, v2, v3, v0, v4], [v1, v5, v3, v0, v2, v4], [v1, v5, v3, v0, v4, v2], [v1, v5, v3, v2, v0, v4], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v1, v3, v5, v0, v4], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v1, v5, v3, v0, v4], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v2, v3, v1, v5, v0, v4], [v2, v3, v5, v0, v1, v4], [v2, v3, v5, v0, v4, v1], [v2, v3, v5, v1, v0, v4], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v2, v5, v1, v3, v0, v4], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v2, v5, v3, v1, v0, v4], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v2, v0, v4, v5], [v3, v1, v2, v0, v5, v4], [v3, v1, v2, v5, v0, v4], [v3, v1, v5, v0, v2, v4], [v3, v1, v5, v0, v4, v2], [v3, v1, v5, v2, v0, v4], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v1, v0, v4, v5], [v3, v2, v1, v0, v5, v4], [v3, v2, v1, v5, v0, v4], [v3, v2, v5, v0, v1, v4], [v3, v2, v5, v0, v4, v1], [v3, v2, v5, v1, v0, v4], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v1, v0, v2, v4], [v3, v5, v1, v0, v4, v2], [v3, v5, v1, v2, v0, v4], [v3, v5, v2, v0, v1, v4], [v3, v5, v2, v0, v4, v1], [v3, v5, v2, v1, v0, v4], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v1, v2, v3, v0, v4], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v1, v3, v2, v0, v4], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3], [v5, v2, v1, v3, v0, v4], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v2, v3, v1, v0, v4], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2], [v5, v3, v1, v2, v0, v4], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1], [v5, v3, v2, v1, v0, v4]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

34. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, 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[v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v5, v0, v1, v4], [v3, v2, v5, v0, v4, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v2, v0, v1, v4], [v3, v5, v2, v0, v4, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, 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[v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v5, v0, v1, v4], [v2, v3, v5, v0, v4, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v3, v0, v1, v4], [v2, v5, v3, v0, v4, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v5, v0, v1, v4], [v3, v2, v5, v0, v4, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v2, v0, v1, v4], [v3, v5, v2, v0, v4, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v3, v0, v1, v4], [v5, v2, v3, v0, v4, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v2, v0, v1, v4], [v5, v3, v2, v0, v4, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

35. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v5, v0, v2, v4], [v1, v3, v5, v0, v4, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v3, v0, v2, v4], [v1, v5, v3, v0, v4, v2], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v5, v0, v2, v4], [v3, v1, v5, v0, v4, v2], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v1, v0, v2, v4], [v3, v5, v1, v0, v4, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v5, v0, v2, v4], [v1, v3, v5, v0, v4, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v3, v0, v2, v4], [v1, v5, v3, v0, v4, v2], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v5, v0, v2, v4], [v3, v1, v5, v0, v4, v2], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v3, v5, v1, v0, v2, v4], [v3, v5, v1, v0, v4, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v3, v0, v2, v4], [v5, v1, v3, v0, v4, v2], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1], [v5, v3, v1, v0, v2, v4], [v5, v3, v1, v0, v4, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

36. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v5, v0, v1, v2, v4], [v3, v5, v0, v1, v4, v2], [v3, v5, v0, v2, v1, v4], [v3, v5, v0, v2, v4, v1], [v3, v5, v0, v4, v1, v2], [v3, v5, v0, v4, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v3, v0, v1, v2, v4], [v5, v3, v0, v1, v4, v2], [v5, v3, v0, v2, v1, v4], [v5, v3, v0, v2, v4, v1], [v5, v3, v0, v4, v1, v2], [v5, v3, v0, v4, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

37. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, 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[v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v2, v0, v3, v4], [v1, v5, v2, v0, v4, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, 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[v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v5, v0, v3, v4], [v1, v2, v5, v0, v4, v3], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v1, v5, v2, v0, v3, v4], [v1, v5, v2, v0, v4, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v5, v0, v3, v4], [v2, v1, v5, v0, v4, v3], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v2, v5, v1, v0, v3, v4], [v2, v5, v1, v0, v4, v3], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2], [v5, v1, v2, v0, v3, v4], [v5, v1, v2, v0, v4, v3], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1], [v5, v2, v1, v0, v3, v4], [v5, v2, v1, v0, v4, v3]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

38. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v5, v0, v1, v3, v4], [v2, v5, v0, v1, v4, v3], [v2, v5, v0, v3, v1, v4], [v2, v5, v0, v3, v4, v1], [v2, v5, v0, v4, v1, v3], [v2, v5, v0, v4, v3, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v2, v0, v1, v3, v4], [v5, v2, v0, v1, v4, v3], [v5, v2, v0, v3, v1, v4], [v5, v2, v0, v3, v4, v1], [v5, v2, v0, v4, v1, v3], [v5, v2, v0, v4, v3, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

39. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v5, v0, v2, v3, v4], [v1, v5, v0, v2, v4, v3], [v1, v5, v0, v3, v2, v4], [v1, v5, v0, v3, v4, v2], [v1, v5, v0, v4, v2, v3], [v1, v5, v0, v4, v3, v2], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1], [v5, v1, v0, v2, v3, v4], [v5, v1, v0, v2, v4, v3], [v5, v1, v0, v3, v2, v4], [v5, v1, v0, v3, v4, v2], [v5, v1, v0, v4, v2, v3], [v5, v1, v0, v4, v3, v2]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

40. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1]], 144, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v5, v0, v1, v2, v3, v4], [v5, v0, v1, v2, v4, v3], [v5, v0, v1, v3, v2, v4], [v5, v0, v1, v3, v4, v2], [v5, v0, v1, v4, v2, v3], [v5, v0, v1, v4, v3, v2], [v5, v0, v2, v1, v3, v4], [v5, v0, v2, v1, v4, v3], [v5, v0, v2, v3, v1, v4], [v5, v0, v2, v3, v4, v1], [v5, v0, v2, v4, v1, v3], [v5, v0, v2, v4, v3, v1], [v5, v0, v3, v1, v2, v4], [v5, v0, v3, v1, v4, v2], [v5, v0, v3, v2, v1, v4], [v5, v0, v3, v2, v4, v1], [v5, v0, v3, v4, v1, v2], [v5, v0, v3, v4, v2, v1], [v5, v0, v4, v1, v2, v3], [v5, v0, v4, v1, v3, v2], [v5, v0, v4, v2, v1, v3], [v5, v0, v4, v2, v3, v1], [v5, v0, v4, v3, v1, v2], [v5, v0, v4, v3, v2, v1]], 144, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

41. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v3, v0, v4, v5], [v1, v2, v3, v0, v5, v4], [v1, v2, v3, v4, v0, v5], [v1, v2, v4, v0, v3, v5], [v1, v2, v4, v0, v5, v3], [v1, v2, v4, v3, v0, v5], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v2, v0, v4, v5], [v1, v3, v2, v0, v5, v4], [v1, v3, v2, v4, v0, v5], [v1, v3, v4, v0, v2, v5], [v1, v3, v4, v0, v5, v2], [v1, v3, v4, v2, v0, v5], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v1, v4, v2, v3, v0, v5], [v1, v4, v3, v0, v2, v5], [v1, v4, v3, v0, v5, v2], [v1, v4, v3, v2, v0, v5], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v1, v3, v4, v0, v5], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v1, v4, v3, v0, v5], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v2, v3, v1, v4, v0, v5], [v2, v3, v4, v0, v1, v5], [v2, v3, v4, v0, v5, v1], [v2, v3, v4, v1, v0, v5], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v2, v4, v1, v3, v0, v5], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v2, v4, v3, v1, v0, v5], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v2, v0, v4, v5], [v3, v1, v2, v0, v5, v4], [v3, v1, v2, v4, v0, v5], [v3, v1, v4, v0, v2, v5], [v3, v1, v4, v0, v5, v2], [v3, v1, v4, v2, v0, v5], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v1, v0, v4, v5], [v3, v2, v1, v0, v5, v4], [v3, v2, v1, v4, v0, v5], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v2, v4, v1, v0, v5], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v1, v0, v2, v5], [v3, v4, v1, v0, v5, v2], [v3, v4, v1, v2, v0, v5], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v3, v4, v2, v1, v0, v5], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v1, v2, v3, v0, v5], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v1, v3, v2, v0, v5], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3], [v4, v2, v1, v3, v0, v5], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v2, v3, v1, v0, v5], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2], [v4, v3, v1, v2, v0, v5], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1], [v4, v3, v2, v1, v0, v5]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v3, v0, v4, v5], [v1, v2, v3, v0, v5, v4], [v1, v2, v3, v4, v0, v5], [v1, v2, v4, v0, v3, v5], [v1, v2, v4, v0, v5, v3], [v1, v2, v4, v3, v0, v5], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v2, v0, v4, v5], [v1, v3, v2, v0, v5, v4], [v1, v3, v2, v4, v0, v5], [v1, v3, v4, v0, v2, v5], [v1, v3, v4, v0, v5, v2], [v1, v3, v4, v2, v0, v5], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v1, v4, v2, v3, v0, v5], [v1, v4, v3, v0, v2, v5], [v1, v4, v3, v0, v5, v2], [v1, v4, v3, v2, v0, v5], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v1, v3, v4, v0, v5], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v1, v4, v3, v0, v5], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v2, v3, v1, v4, v0, v5], [v2, v3, v4, v0, v1, v5], [v2, v3, v4, v0, v5, v1], [v2, v3, v4, v1, v0, v5], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v2, v4, v1, v3, v0, v5], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v2, v4, v3, v1, v0, v5], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v2, v0, v4, v5], [v3, v1, v2, v0, v5, v4], [v3, v1, v2, v4, v0, v5], [v3, v1, v4, v0, v2, v5], [v3, v1, v4, v0, v5, v2], [v3, v1, v4, v2, v0, v5], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v1, v0, v4, v5], [v3, v2, v1, v0, v5, v4], [v3, v2, v1, v4, v0, v5], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v2, v4, v1, v0, v5], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v1, v0, v2, v5], [v3, v4, v1, v0, v5, v2], [v3, v4, v1, v2, v0, v5], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v3, v4, v2, v1, v0, v5], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v1, v2, v3, v0, v5], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v1, v3, v2, v0, v5], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3], [v4, v2, v1, v3, v0, v5], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v2, v3, v1, v0, v5], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2], [v4, v3, v1, v2, v0, v5], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1], [v4, v3, v2, v1, v0, v5]], 360, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

42. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, 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[v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, 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[v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v4, v0, v1, v5], [v2, v3, v4, v0, v5, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v3, v0, v1, v5], [v2, v4, v3, v0, v5, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v4, v0, v1, v5], [v3, v2, v4, v0, v5, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v2, v0, v1, v5], [v3, v4, v2, v0, v5, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v3, v0, v1, v5], [v4, v2, v3, v0, v5, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v2, v0, v1, v5], [v4, v3, v2, v0, v5, v1]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

43. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v4, v0, v2, v5], [v1, v3, v4, v0, v5, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v3, v0, v2, v5], [v1, v4, v3, v0, v5, v2], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v4, v0, v2, v5], [v3, v1, v4, v0, v5, v2], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v1, v0, v2, v5], [v3, v4, v1, v0, v5, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v4, v0, v2, v5], [v1, v3, v4, v0, v5, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v3, v0, v2, v5], [v1, v4, v3, v0, v5, v2], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v4, v0, v2, v5], [v3, v1, v4, v0, v5, v2], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v3, v4, v1, v0, v2, v5], [v3, v4, v1, v0, v5, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v3, v0, v2, v5], [v4, v1, v3, v0, v5, v2], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1], [v4, v3, v1, v0, v2, v5], [v4, v3, v1, v0, v5, v2]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

44. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v4, v0, v1, v2, v5], [v3, v4, v0, v1, v5, v2], [v3, v4, v0, v2, v1, v5], [v3, v4, v0, v2, v5, v1], [v3, v4, v0, v5, v1, v2], [v3, v4, v0, v5, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v3, v0, v1, v2, v5], [v4, v3, v0, v1, v5, v2], [v4, v3, v0, v2, v1, v5], [v4, v3, v0, v2, v5, v1], [v4, v3, v0, v5, v1, v2], [v4, v3, v0, v5, v2, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

45. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, 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[v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, 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[v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v4, v0, v3, v5], [v1, v2, v4, v0, v5, v3], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v1, v4, v2, v0, v3, v5], [v1, v4, v2, v0, v5, v3], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v4, v0, v3, v5], [v2, v1, v4, v0, v5, v3], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v2, v4, v1, v0, v3, v5], [v2, v4, v1, v0, v5, v3], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2], [v4, v1, v2, v0, v3, v5], [v4, v1, v2, v0, v5, v3], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1], [v4, v2, v1, v0, v3, v5], [v4, v2, v1, v0, v5, v3]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

46. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v4, v0, v1, v3, v5], [v2, v4, v0, v1, v5, v3], [v2, v4, v0, v3, v1, v5], [v2, v4, v0, v3, v5, v1], [v2, v4, v0, v5, v1, v3], [v2, v4, v0, v5, v3, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v2, v0, v1, v3, v5], [v4, v2, v0, v1, v5, v3], [v4, v2, v0, v3, v1, v5], [v4, v2, v0, v3, v5, v1], [v4, v2, v0, v5, v1, v3], [v4, v2, v0, v5, v3, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

47. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v4, v0, v2, v3, v5], [v1, v4, v0, v2, v5, v3], [v1, v4, v0, v3, v2, v5], [v1, v4, v0, v3, v5, v2], [v1, v4, v0, v5, v2, v3], [v1, v4, v0, v5, v3, v2], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1], [v4, v1, v0, v2, v3, v5], [v4, v1, v0, v2, v5, v3], [v4, v1, v0, v3, v2, v5], [v4, v1, v0, v3, v5, v2], [v4, v1, v0, v5, v2, v3], [v4, v1, v0, v5, v3, v2]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

48. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

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([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1]], 144, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v4, v0, v1, v2, v3, v5], [v4, v0, v1, v2, v5, v3], [v4, v0, v1, v3, v2, v5], [v4, v0, v1, v3, v5, v2], [v4, v0, v1, v5, v2, v3], [v4, v0, v1, v5, v3, v2], [v4, v0, v2, v1, v3, v5], [v4, v0, v2, v1, v5, v3], [v4, v0, v2, v3, v1, v5], [v4, v0, v2, v3, v5, v1], [v4, v0, v2, v5, v1, v3], [v4, v0, v2, v5, v3, v1], [v4, v0, v3, v1, v2, v5], [v4, v0, v3, v1, v5, v2], [v4, v0, v3, v2, v1, v5], [v4, v0, v3, v2, v5, v1], [v4, v0, v3, v5, v1, v2], [v4, v0, v3, v5, v2, v1], [v4, v0, v5, v1, v2, v3], [v4, v0, v5, v1, v3, v2], [v4, v0, v5, v2, v1, v3], [v4, v0, v5, v2, v3, v1], [v4, v0, v5, v3, v1, v2], [v4, v0, v5, v3, v2, v1]], 144, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

49. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v4], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v3, v0, v4, v5], [v1, v2, v3, v0, v5, v4], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v2, v0, v4, v5], [v1, v3, v2, v0, v5, v4], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v2, v0, v4, v5], [v3, v1, v2, v0, v5, v4], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v1, v0, v4, v5], [v3, v2, v1, v0, v5, v4]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v4], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v1, v0, v2, v3, v4, v5], [v1, v0, v2, v3, v5, v4], [v1, v0, v2, v4, v3, v5], [v1, v0, v2, v4, v5, v3], [v1, v0, v2, v5, v3, v4], [v1, v0, v2, v5, v4, v3], [v1, v0, v3, v2, v4, v5], [v1, v0, v3, v2, v5, v4], [v1, v0, v3, v4, v2, v5], [v1, v0, v3, v4, v5, v2], [v1, v0, v3, v5, v2, v4], [v1, v0, v3, v5, v4, v2], [v1, v0, v4, v2, v3, v5], [v1, v0, v4, v2, v5, v3], [v1, v0, v4, v3, v2, v5], [v1, v0, v4, v3, v5, v2], [v1, v0, v4, v5, v2, v3], [v1, v0, v4, v5, v3, v2], [v1, v0, v5, v2, v3, v4], [v1, v0, v5, v2, v4, v3], [v1, v0, v5, v3, v2, v4], [v1, v0, v5, v3, v4, v2], [v1, v0, v5, v4, v2, v3], [v1, v0, v5, v4, v3, v2], [v1, v2, v0, v3, v4, v5], [v1, v2, v0, v3, v5, v4], [v1, v2, v0, v4, v3, v5], [v1, v2, v0, v4, v5, v3], [v1, v2, v0, v5, v3, v4], [v1, v2, v0, v5, v4, v3], [v1, v2, v3, v0, v4, v5], [v1, v2, v3, v0, v5, v4], [v1, v3, v0, v2, v4, v5], [v1, v3, v0, v2, v5, v4], [v1, v3, v0, v4, v2, v5], [v1, v3, v0, v4, v5, v2], [v1, v3, v0, v5, v2, v4], [v1, v3, v0, v5, v4, v2], [v1, v3, v2, v0, v4, v5], [v1, v3, v2, v0, v5, v4], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v1, v0, v3, v4, v5], [v2, v1, v0, v3, v5, v4], [v2, v1, v0, v4, v3, v5], [v2, v1, v0, v4, v5, v3], [v2, v1, v0, v5, v3, v4], [v2, v1, v0, v5, v4, v3], [v2, v1, v3, v0, v4, v5], [v2, v1, v3, v0, v5, v4], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v2, v3, v1, v0, v4, v5], [v2, v3, v1, v0, v5, v4], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v1, v0, v2, v4, v5], [v3, v1, v0, v2, v5, v4], [v3, v1, v0, v4, v2, v5], [v3, v1, v0, v4, v5, v2], [v3, v1, v0, v5, v2, v4], [v3, v1, v0, v5, v4, v2], [v3, v1, v2, v0, v4, v5], [v3, v1, v2, v0, v5, v4], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1], [v3, v2, v1, v0, v4, v5], [v3, v2, v1, v0, v5, v4]], 240, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

50. Audit All Vertex Permutations and Retain Every Valid Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (vertices, edges, all_valid_orders, order_count, order_exists, certificate).

View answer and explanation

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v4], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited)

Return every order satisfying all edges, in source canonical permutation order, along with count and existence. Multiple orders are allowed; a zero-vertex graph has one empty permutation. These are graph orders, not topological-space claims. The exact result, retaining the requested order, is ([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v1], [v0, v4], [v0, v5]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, v1, v3, v5], [v0, v2, v4, v1, v5, v3], [v0, v2, v4, v3, v1, v5], [v0, v2, v4, v3, v5, v1], [v0, v2, v4, v5, v1, v3], [v0, v2, v4, v5, v3, v1], [v0, v2, v5, v1, v3, v4], [v0, v2, v5, v1, v4, v3], [v0, v2, v5, v3, v1, v4], [v0, v2, v5, v3, v4, v1], [v0, v2, v5, v4, v1, v3], [v0, v2, v5, v4, v3, v1], [v0, v3, v1, v2, v4, v5], [v0, v3, v1, v2, v5, v4], [v0, v3, v1, v4, v2, v5], [v0, v3, v1, v4, v5, v2], [v0, v3, v1, v5, v2, v4], [v0, v3, v1, v5, v4, v2], [v0, v3, v2, v1, v4, v5], [v0, v3, v2, v1, v5, v4], [v0, v3, v2, v4, v1, v5], [v0, v3, v2, v4, v5, v1], [v0, v3, v2, v5, v1, v4], [v0, v3, v2, v5, v4, v1], [v0, v3, v4, v1, v2, v5], [v0, v3, v4, v1, v5, v2], [v0, v3, v4, v2, v1, v5], [v0, v3, v4, v2, v5, v1], [v0, v3, v4, v5, v1, v2], [v0, v3, v4, v5, v2, v1], [v0, v3, v5, v1, v2, v4], [v0, v3, v5, v1, v4, v2], [v0, v3, v5, v2, v1, v4], [v0, v3, v5, v2, v4, v1], [v0, v3, v5, v4, v1, v2], [v0, v3, v5, v4, v2, v1], [v0, v4, v1, v2, v3, v5], [v0, v4, v1, v2, v5, v3], [v0, v4, v1, v3, v2, v5], [v0, v4, v1, v3, v5, v2], [v0, v4, v1, v5, v2, v3], [v0, v4, v1, v5, v3, v2], [v0, v4, v2, v1, v3, v5], [v0, v4, v2, v1, v5, v3], [v0, v4, v2, v3, v1, v5], [v0, v4, v2, v3, v5, v1], [v0, v4, v2, v5, v1, v3], [v0, v4, v2, v5, v3, v1], [v0, v4, v3, v1, v2, v5], [v0, v4, v3, v1, v5, v2], [v0, v4, v3, v2, v1, v5], [v0, v4, v3, v2, v5, v1], [v0, v4, v3, v5, v1, v2], [v0, v4, v3, v5, v2, v1], [v0, v4, v5, v1, v2, v3], [v0, v4, v5, v1, v3, v2], [v0, v4, v5, v2, v1, v3], [v0, v4, v5, v2, v3, v1], [v0, v4, v5, v3, v1, v2], [v0, v4, v5, v3, v2, v1], [v0, v5, v1, v2, v3, v4], [v0, v5, v1, v2, v4, v3], [v0, v5, v1, v3, v2, v4], [v0, v5, v1, v3, v4, v2], [v0, v5, v1, v4, v2, v3], [v0, v5, v1, v4, v3, v2], [v0, v5, v2, v1, v3, v4], [v0, v5, v2, v1, v4, v3], [v0, v5, v2, v3, v1, v4], [v0, v5, v2, v3, v4, v1], [v0, v5, v2, v4, v1, v3], [v0, v5, v2, v4, v3, v1], [v0, v5, v3, v1, v2, v4], [v0, v5, v3, v1, v4, v2], [v0, v5, v3, v2, v1, v4], [v0, v5, v3, v2, v4, v1], [v0, v5, v3, v4, v1, v2], [v0, v5, v3, v4, v2, v1], [v0, v5, v4, v1, v2, v3], [v0, v5, v4, v1, v3, v2], [v0, v5, v4, v2, v1, v3], [v0, v5, v4, v2, v3, v1], [v0, v5, v4, v3, v1, v2], [v0, v5, v4, v3, v2, v1], [v2, v0, v1, v3, v4, v5], [v2, v0, v1, v3, v5, v4], [v2, v0, v1, v4, v3, v5], [v2, v0, v1, v4, v5, v3], [v2, v0, v1, v5, v3, v4], [v2, v0, v1, v5, v4, v3], [v2, v0, v3, v1, v4, v5], [v2, v0, v3, v1, v5, v4], [v2, v0, v3, v4, v1, v5], [v2, v0, v3, v4, v5, v1], [v2, v0, v3, v5, v1, v4], [v2, v0, v3, v5, v4, v1], [v2, v0, v4, v1, v3, v5], [v2, v0, v4, v1, v5, v3], [v2, v0, v4, v3, v1, v5], [v2, v0, v4, v3, v5, v1], [v2, v0, v4, v5, v1, v3], [v2, v0, v4, v5, v3, v1], [v2, v0, v5, v1, v3, v4], [v2, v0, v5, v1, v4, v3], [v2, v0, v5, v3, v1, v4], [v2, v0, v5, v3, v4, v1], [v2, v0, v5, v4, v1, v3], [v2, v0, v5, v4, v3, v1], [v2, v3, v0, v1, v4, v5], [v2, v3, v0, v1, v5, v4], [v2, v3, v0, v4, v1, v5], [v2, v3, v0, v4, v5, v1], [v2, v3, v0, v5, v1, v4], [v2, v3, v0, v5, v4, v1], [v3, v0, v1, v2, v4, v5], [v3, v0, v1, v2, v5, v4], [v3, v0, v1, v4, v2, v5], [v3, v0, v1, v4, v5, v2], [v3, v0, v1, v5, v2, v4], [v3, v0, v1, v5, v4, v2], [v3, v0, v2, v1, v4, v5], [v3, v0, v2, v1, v5, v4], [v3, v0, v2, v4, v1, v5], [v3, v0, v2, v4, v5, v1], [v3, v0, v2, v5, v1, v4], [v3, v0, v2, v5, v4, v1], [v3, v0, v4, v1, v2, v5], [v3, v0, v4, v1, v5, v2], [v3, v0, v4, v2, v1, v5], [v3, v0, v4, v2, v5, v1], [v3, v0, v4, v5, v1, v2], [v3, v0, v4, v5, v2, v1], [v3, v0, v5, v1, v2, v4], [v3, v0, v5, v1, v4, v2], [v3, v0, v5, v2, v1, v4], [v3, v0, v5, v2, v4, v1], [v3, v0, v5, v4, v1, v2], [v3, v0, v5, v4, v2, v1], [v3, v2, v0, v1, v4, v5], [v3, v2, v0, v1, v5, v4], [v3, v2, v0, v4, v1, v5], [v3, v2, v0, v4, v5, v1], [v3, v2, v0, v5, v1, v4], [v3, v2, v0, v5, v4, v1]], 180, Yes, all_vertex_permutations_are_audited).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-all-orders · candidate

51. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

52. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

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53. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

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54. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

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55. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

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56. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

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57. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v4, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

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58. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

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59. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

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60. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

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61. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

62. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

63. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

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64. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

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65. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v5], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

66. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

67. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

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68. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

69. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v3, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

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70. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

71. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

72. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

73. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v4], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

74. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

75. Remove the Lexically First Zero-Indegree Source at Each Kahn Step

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, output_order, cycle_detected, valid_completed_order, certificate).

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source)

Retain remaining vertices, every available source and the selected first source at each step, then the output and cycle/completion flags. No available source with vertices remaining is a cycle condition. A finite trace is not the general induction proof. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v3], v0], [[v1, v2, v3, v4, v5], [v1, v2, v3, v4, v5], v1], [[v2, v3, v4, v5], [v2, v3, v4, v5], v2], [[v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v4, v5], [v4, v5], v4], [[v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], No, Yes, each_step_removes_lexicographically_first_zero_indegree_source).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-kahn-trace · candidate

76. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-cycle-boundary · candidate

77. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

Reviewed step-by-step derivation

Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-cycle-boundary · candidate

78. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

Reviewed step-by-step derivation

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79. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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80. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v5], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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81. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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82. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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83. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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84. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3, v4], v3], [[v0, v1, v2, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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85. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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86. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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87. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3], v3]], [v0, v1, v2, v4, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3], v3]], [v0, v1, v2, v4, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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88. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3], v3]], [v0, v1, v2, v4, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v3], v3]], [v0, v1, v2, v4, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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89. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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90. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4], [v0, v5]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation

([], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([], [v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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91. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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92. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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93. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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94. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4, v5], v4], [[v0, v1, v2, v3, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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95. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v4], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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96. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v4], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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97. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v3], [v0, v4], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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98. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v3], [v0, v4], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

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([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v5], v5]], [v0, v1, v2, v3, v4], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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Topological ordering of a directed acyclic graph · qf-mod47-toposort-cycle-boundary · candidate

99. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v5], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v1, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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100. An Explicit Directed Cycle Refutes Every Topological Order

Use unique vertices=[v0, v1, v2, v3, v4, v5] and loop-free duplicate-free directed edges=[[v0, v1], [v1, v2], [v2, v0], [v0, v2], [v0, v5], [v1, v3]]. Every edge u→v needs position(u)<position(v) in a complete vertex permutation; labels use source lexical order. Give (source_removal_trace, remaining_vertices, directed_cycle, cycle_detected, no_order_certificate, uniqueness_or_extra_claim, boundary).

Remaining vertices may include tails outside the witness cycle. The explicit cycle is the refutation. Edgeless or zero-vertex graphs may have valid orders; the empty permutation counts as one.

View answer and explanation

([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed)

Require a genuine directed cycle, not merely a failed candidate. Retain the source-removal prefix, blocked remaining vertices and a closed directed cycle witness. Remaining vertices can include tails outside that cycle. Do not infer uniqueness; multiple orders and edgeless graphs remain allowed when no cycle exists. The exact result, retaining the requested order, is ([[[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v4], v4]], [v0, v1, v2, v3, v5], [v0, v2, v0], Yes, Yes, No, directed_cycle_blocks_every_topological_order_while_multiple_orders_and_empty_edges_are_allowed).

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