第3章 一元一次方程

計算3x＋5在x＝5時的值，是代入。現在反過來：如果已知3x＋5＝20，要如何找出所有符合條件的x？只猜到一個能用的值還不夠，我們還要說明為什麼沒有漏掉其他解。

本章的未知數取實數。核心是一元一次方程：整理後可以寫成ax＋b＝0，其中a、b是給定的實數，且a≠0。章末也會檢查整理後x項消失的等式；那兩種退化情形不屬於a≠0的這一類，必須另判斷解集。

3.1 解與同解的意思

讓原等式兩邊相等、而且符合原來條件的值，叫作解。把所有解放在一起，叫作解集。兩個方程在同一個允許範圍內有相同解集，就稱為同解。

例如x＋2＝5與x＝3在實數範圍內同解。不是說左邊的式子x＋2與x本身恆等，而是說能讓各自等式成立的x都是同一個3。

本章用⇔表示所列的兩個方程同解。每次寫這個符號，都要能交代兩個方向；若只知道原式成立會推出後式成立，還不能直接寫成同解。

3.2 哪些操作可以保留全部解

兩邊同加或同減一個在論域內有意義的量，可以用相反操作回到原式。兩邊同乘或同除一個已知非零常數，也可以用相反操作回去。

把含x的量加到兩邊，也可以合法。例如對每一個固定的實數x，2x都是有意義的同一個量；加上2x後，再減去2x即可回去。不能在左右兩邊偷偷選不同的x。

「移項換號」只是這些步驟的簡稱。剛開始練習時，請寫出兩邊同做了什麼，不要把換號當成沒有理由的搬家規則。

例題1 解3x＋5＝20

1. 先保留原方程3x＋5＝20，未知數x取實數。
2. 兩邊同減5，得到3x＋5−5＝20−5。
3. 整理兩邊，得到3x＝15。
4. 因為3≠0，兩邊可以同除3，得到(3x)/3＝15/3。
5. 整理後得到x＝5。

每一步都可逆，所以可以摘要為：3x＋5＝20 ⇔ 3x＝15 ⇔ x＝5。

回代原式：左邊3 × 5＋5＝15＋5＝20，等於右邊，所以5確實是解。反向從x＝5出發，兩邊同乘3得到3x＝15，再同加5就回到原式。

不是只因為「試到5可用」就宣稱唯一。任何原方程的解，都必須經過這些可逆步驟得到x＝5；而5又能回到原式，因此解集恰好只有5。

圖中長條按本例已求得的正數x＝5示意，不是用量圖的寬度猜出解，也不把負數解畫成負的實際重量。解的資格仍由可逆的等式步驟決定。

3.3 未知數在兩邊時先展開再整理

例題2 解2(x−3)＋4＝3x−5

1. 左邊用分配律展開：2(x−3)＋4＝2x−6＋4＝2x−2。這是對所有實數x成立的式子改寫。
2. 方程因此同解於2x−2＝3x−5。
3. 兩邊同減2x，得到−2＝x−5。
4. 兩邊同加5，得到3＝x。
5. 等號兩邊可以對調，因此x＝3。

回代原式，左邊2(3−3)＋4＝0＋4＝4；右邊3 × 3−5＝9−5＝4，所以成立。

反向核對：從x＝3先對調等號，得到3＝x；同減5得到−2＝x−5；同加2x得到2x−2＝3x−5；再把左邊改寫回2(x−3)＋4。全部步驟在實數範圍內有意義，也都能回去，所以沒有漏解或多加解。

3.4 分母是已知常數時可以一起清除

例題3 解(x−1)/3＋(x＋2)/2＝4

1. 這裡的分母是已知的3與2，都不是0，因此原式對每個實數x都有意義。
2. 取公倍數6。因為6≠0，兩邊同乘6是可逆操作。
3. 左邊的兩項及右邊都要乘6，得到2(x−1)＋3(x＋2)＝24。
4. 展開左邊：2x−2＋3x＋6＝24。
5. 合併同類項，得到5x＋4＝24。
6. 兩邊同減4，得到5x＝20。
7. 因為5≠0，兩邊同除5，得到x＝4。

回代原式：(4−1)/3＋(4＋2)/2＝3/3＋6/2＝1＋3＝4，與右邊相等。反向從x＝4依序乘5、加4，展開成兩組，再把等式兩邊同除6，可以回到原來的分數方程。

不能只讓第一個分數乘6，也不能忘記把右邊的4改成24。若分母含有未知數，還要先列非零條件；那是第9章要進一步整理的資格，本例不靠省略條件來清除分母。

3.5 整理後一次項消失時不要硬除以0

同樣寫著x的等式，整理後不一定還有非零的一次項。先看一般形式ax＋b＝0。

• 若a≠0，兩邊同減b，再同除a，唯一解是x＝−b/a。這才是本章核心的一元一次方程。
• 若a＝0而b≠0，等式變成b＝0，無論x取什麼都不成立，所以無解。
• 若a＝0而b＝0，等式變成0＝0。在原論域沒有額外排除點時，每一個實數x都是解。

後兩種不符合一元一次方程的非零係數條件，仍須正確描述其解集。不能看到0x＝4就寫x＝4/0，也不能看到0＝0就說x＝0。

圖中的空數線表示沒有符合條件的點，不是把0當成一個解；整條帶箭頭的數線表示所有實數，不把範圍限制在畫出的有限視窗。

3.6 回代與可逆性各自檢查什麼

回代是在檢查候選值是否符合原式。可逆性是在追蹤整個解集是否保持不變。這兩件事要配合使用。

例如x＝2若兩邊同乘0，會得到0＝0。原來的解只有2，後來的等式卻對每個實數成立，因此「同乘0」不能當成一般的同解規則。原式成立確實會推出0＝0，但從0＝0不能反推x＝2。

本章求解時只除以已確認非零的常數。把等式兩邊同除未知數，不會因為「兩邊都有同樣的字」就自動合法；若它可能是0，就不能直接做這個除法。

3.7 常見錯誤

• 移項時換了符號，卻說不出兩邊同做了哪個操作。
• 去括號漏乘某一項，或清分母只乘到等式的一部分。
• 除以可能為0的量，沒有保留條件。
• 只回代一個猜到的數，就宣稱已找出全部解。
• 把一次項消失後的矛盾或恆等式，都硬當成具有唯一解的一元一次方程。

3.8 本章回顧

完整的解方程應包含原論域、每一步操作及其資格、整理後的解集，最後回代原式。能回代成功，代表這個候選值確實可用；能交代所有同解步驟，才支持沒有增解或漏解。下一章將把這個習慣帶到不等式，但那裡還要另檢查不等號的方向。先完成下面練習並核對解答，再進入下一章。

3.9 練習

未知數x均取實數。前6題求解並回代；第7、8題整理後一次項消失，請判斷解集，不要強行套用非零係數的公式。

1. B02-C03-Q01　解x＋7＝12。
2. B02-C03-Q02　解4x＝28。
3. B02-C03-Q03　解−2x＋3＝11。
4. B02-C03-Q04　解5x−4＝2x＋8。
5. B02-C03-Q05　解3(x＋2)＝2x＋11。
6. B02-C03-Q06　解(x＋1)/2＝5。
7. B02-C03-Q07　判斷2x＋3＝2x＋7的解集。
8. B02-C03-Q08　判斷3(x−2)＝3x−6的解集。

3.10 完整解答

Q01

1. 兩邊同減7：x＋7−7＝12−7。
2. 整理得到x＝5。加回7即可反向回到原式，因此同解。
3. 回代：5＋7＝12，所以解集只有5。

Q02

1. 4≠0，兩邊同除4，得到x＝28/4＝7。
2. 反向同乘4可回到4x＝28，所以沒有漏掉其他解。
3. 回代：4 × 7＝28，解集只有7。

Q03

1. 兩邊同減3，得到−2x＝8。
2. −2≠0，兩邊同除−2，得到x＝8/(−2)＝−4。
3. 每一步都能用相反操作回去，因此解集只有−4。
4. 回代原式：(−2) × (−4)＋3＝8＋3＝11。等式兩邊同除負數仍是等式，不是在這裡翻轉一個不等號。

Q04

1. 原式5x−4＝2x＋8，兩邊同減2x，得到3x−4＝8。
2. 兩邊同加4，得到3x＝12。
3. 因3≠0，兩邊同除3，得到x＝4。
4. 回代：左邊5 × 4−4＝16，右邊2 × 4＋8＝16，符合原式。
5. 加回、減回及同乘3都合法，所以這些是同解步驟，解集只有4。

Q05

1. 左邊展開為3x＋6，方程同解於3x＋6＝2x＋11。
2. 兩邊同減2x，得到x＋6＝11。
3. 兩邊同減6，得到x＝5。
4. 回代原式：左邊3(5＋2)＝21，右邊2 × 5＋11＝21。
5. 展開和兩次減法都可逆，因此解集只有5。

Q06

1. 分母2固定且非零，原式對所有實數x都有意義。
2. 兩邊同乘2，得到x＋1＝10。
3. 兩邊同減1，得到x＝9。
4. 回代：(9＋1)/2＝10/2＝5。
5. 乘2與減1都可以反向操作，所以解集只有9。

Q07

1. 兩邊同減2x，得到3＝7。
2. 3＝7是假等式，而且不再含x。沒有任何實數x能改變這個矛盾。
3. 因為同減2x是可逆步驟，原式也沒有解，解集為空集合。
4. 這不是x＝0，也不是要用0去除某個數。整理後一次項係數是0，不屬於非零係數的一元一次方程。

Q08

1. 左邊依分配律展開：3(x−2)＝3x−6。
2. 方程變成3x−6＝3x−6，兩邊是同一個式子。
3. 也可兩邊同減3x，得到−6＝−6，始終成立。
4. 原式沒有分母或其他排除條件，所以上述改寫對每個實數x都合法，解集是ℝ。
5. 一次項消失後是恆等式，不是唯一解x＝0。也不是只代入幾個值，就把剩下所有實數猜成解。