第5章 聯立一次方程

兩種票合計12張，票款又有一個總數，通常需要同時使用兩個條件。聯立方程的解不是只符合其中一條，而是同一組未知數使全部方程都成立。

本章未知數x、y取實數，解寫成有順序的(x,y)。若題目把它們解釋成件數，還要另外檢查整數與非負條件，不能把實數解直接當成合格的件數。

5.1 代入法保留另一條方程

把一條方程改寫成y＝某個含x的式子，再代入另一條，可以把兩個未知數暫時化成一個。原來用於替換的關係仍須保留，才能找回y並檢查整組解。

例題1 解x＋y＝7 且2x−y＝2

1. 第一條同減x，得到y＝7−x。
2. 將同一個y代入第二條，得到2x−(7−x)＝2。
3. 去括號並合併，得到3x−7＝2，所以3x＝9，x＝3。
4. 代回保留的關係，y＝7−3＝4。
5. 檢查第一條3＋4＝7，第二條2 × 3−4＝2，兩條都成立。

每個聯立解都必須滿足y＝7−x及代入後的方程；後者唯一決定x＝3，前者再唯一決定y＝4。反向代入也成立，因此唯一解是(3,4)，不是只試到了一組可用的數。

5.2 消去法與等價的方程組

兩條等式可以相加，但若只留下相加結果、把其他條件全丟掉，資訊可能變少。常用的安全做法是保留一條方程，用「另一條加上它的倍數」替換另一條；反向減回相同倍數就能復原。

例題2 解2x＋3y＝12 且3x−2y＝5

1. 第一條同乘非零常數2，得到4x＋6y＝24。
2. 第二條同乘非零常數3，得到9x−6y＝15。
3. 相加得到13x＝39，同時保留第一條或第二條的關係。
4. 因13≠0，得x＝3。
5. 代入第一條：6＋3y＝12，所以3y＝6，y＝2。
6. 回查第二條：9−4＝5；第一條6＋6＝12也成立。

唯一解是(3,2)。為什麼相加沒有漏掉條件？因為我們保留了一條方程：由它和相加式，可以反向減回另一條。只寫13x＝39而從此不再處理y，並不是完整解答。

5.3 平行與重合對應不同代數結果

當ax＋by＝c中的a、b不全是0時，它在平面上是一條直線。兩條方程所表示的直線可以相交、平行而不同，或彼此重合。這個圖形對照要以方程的代數關係確認，不是靠畫得像不像。

例題3 相似寫法可能無解也可能有無限多解

先看x＋y＝3且2x＋2y＝8。

1. 第一條同乘2得到2x＋2y＝6。
2. 它與第二條相減，得到0＝2，這不可能成立。
3. 所以沒有同時符合兩條的實數組，聯立方程無解。

再把第二條改成2x＋2y＝6。

1. 這次第二條恰是第一條的2倍，沒有增加新的限制。
2. 令x＝t，其中t可取任意實數，第一條就給出y＝3−t。
3. 代入第二條，2t＋2(3−t)＝6，始終成立。
4. 因此全部解是(t,3−t)，t取任意實數。不同t給出不同的有序數對，所以有無限多解。

「看見兩條方程」不保證兩條獨立限制。若係數全為0，還可能直接出現0＝0或0＝1，須按陳述本身判斷，不硬套直線圖。

5.4 本章回顧

先列出全部條件，再使用代入或可逆的消去操作。求出一個未知數後，要找回另一個，最後逐條回代。若消去後出現矛盾，沒有解；若只剩一條有效限制，就描述全部符合它的數對，不隨意挑一組當成全部。

5.5 練習

1. B02-C05-Q01　解x＋y＝5且x−y＝1。
2. B02-C05-Q02　解x＋2y＝8且x−y＝2。
3. B02-C05-Q03　解2x＋y＝7且x＋y＝4。
4. B02-C05-Q04　解x−y＝4且2x＋y＝11。
5. B02-C05-Q05　判斷x＋y＝2且2x＋2y＝5的解集。
6. B02-C05-Q06　描述x−2y＝1且2x−4y＝2的全部實數解，以y＝t表示。
7. B02-C05-Q07　檢查(2,1)是否同時符合x＋2y＝4與3x−y＝5。這兩條是否另有其他實數解？
8. B02-C05-Q08　x＋y＝4與x−y＝0相加得2x＝4。只留下x＝2是否足夠？用(2,0)說明，再完成原聯立方程。

5.6 完整解答

Q01

兩條相加得2x＝6，所以x＝3。代入x＋y＝5，得y＝2。原式檢查3＋2＝5及3−2＝1都成立。保留一條再反向減回另一條，能復原整組，因此唯一解是(3,2)。

Q02

第一條減第二條得3y＝6，所以y＝2。保留x−y＝2，得到x＝4。回查4＋2 × 2＝8及4−2＝2，唯一解是(4,2)。

Q03

第一條減第二條得到x＝3。代回第二條，y＝1。檢查2 × 3＋1＝7，且3＋1＝4，所以唯一解是(3,1)。

Q04

兩條相加得3x＝15，所以x＝5。由x−y＝4，得5−y＝4，即y＝1。回查5−1＝4及10＋1＝11，因此唯一解是(5,1)。

Q05

第一條乘2要求2x＋2y＝4，第二條卻要求同一個左邊等於5。相減得到0＝1，矛盾，所以解集為空。這不是說x或y必須取0。

Q06

第二條是第一條的2倍，只需保留x−2y＝1。令y＝t，便得x＝1＋2t。代回兩條，(1＋2t)−2t＝1，2(1＋2t)−4t＝2，所以全部解為(1＋2t,t)，t取任意實數。

Q07

代入(2,1)，第一條2＋2＝4，第二條6−1＝5，都成立。再用第一條求x＝4−2y，代入第二條得12−7y＝5，故y＝1、x＝2。這也說明沒有其他實數解，唯一解是(2,1)。

Q08

(2,0)符合2x＝4，卻不符合原第一條2＋0＝4，表示只留下相加結果會多收進不合格的數對。保留x−y＝0，再代入x＝2，得y＝2；回查兩條均成立，所以原方程組唯一解是(2,2)。