第6章 多項式的運算

多項式把不同次方的項組在一起。整理時要同時追蹤係數、次方及正負號；不是把所有看起來有x的東西都合成同一項。

本章以一個實數變數x為主，係數是固定實數，指數為非負整數。例如2x³−5x＋7是多項式；1/x和√x不是這個定義下的x多項式。

6.1 次數看最高的非零項

5x³−2x＋7的最高非零次方是3，次數為3，最高次項係數為5，常數項為7。缺少的x²項可用係數0記錄，但不會因此改變多項式的值。

非零常數多項式的次數是0。本冊不為零多項式指定通常的非負整數次數；有些其他語境另設約定，不能默默混用。多項式在一個取值時算出0，也不表示它就是零多項式。

6.2 加法逐次方合併

例題1 計算(2x²−3x＋1)＋(x²＋5x−4)

1. 加上整個括號，不改變其中各項符號，得到2x²−3x＋1＋x²＋5x−4。
2. x²項合併為(2＋1)x²＝3x²。
3. x項合併為(−3＋5)x＝2x。
4. 常數合併為1−4＝−3。
5. 結果是3x²＋2x−3。

反向依次拆開三組係數，就能回到原來兩個多項式的和。取x＝1作算術檢查，原兩括號分別為0與2，和為2；結果式為3＋2−3＝2。一般恆等的理由是同類項合併，不是只靠x＝1。

6.3 減法先改變整個被減式的符號

例題2 計算(x²−2x＋3)−(2x²＋x−1)

1. 括號前的負號作用到全部三項：−(2x²＋x−1)＝−2x²−x＋1。
2. 原式變成x²−2x＋3−2x²−x＋1。
3. x²項是x²−2x²＝−x²。
4. x項是−2x−x＝−3x，常數為3＋1＝4。
5. 所以結果是−x²−3x＋4。

取x＝0，原式3−(−1)＝4，結果也為4。若把末項錯改成−1，就會錯得2；數值反查可發現這類符號錯誤。

6.4 乘法要寫出全部分配項

例題3 展開(2x−1)(x²＋x＋3)

1. 把左邊兩項分配到整個右括號，得2x(x²＋x＋3)−1(x²＋x＋3)。
2. 第一組產生2x³＋2x²＋6x。
3. 第二組產生−x²−x−3。
4. 合起來為2x³＋2x²＋6x−x²−x−3。
5. 合併同類項，得到2x³＋x²＋5x−3。

六個乘積都要出現，才再合併。反向把結果拆成2x³＋2x²＋6x與−x²−x−3兩組，即可分別提出2x及−1，回到原式。

若兩個非零實係數多項式相乘，各自最高次項相乘會產生「兩者次數相加」的項，係數是兩個非零係數的乘積，因此仍非零。其他任何乘積只要至少選到其中一式較低次的項，次數就嚴格小於這個和，不能與最高次項合併抵消。因此，乘積次數是兩者次數的和。這個說明需要「兩者非零」；加法則可能因最高次項抵消而降次，不能照搬乘法結論。

6.5 本章回顧

加減法按相同次方對齊，減法先照顧整個括號；乘法逐項分配，再合併。最後重新檢查最高非零次方。不要把一個代入值為0、零多項式和次數為0混成同一件事。

6.6 練習

1. B02-C06-Q01　指出5x³−2x＋7的次數、最高次項係數及常數項。
2. B02-C06-Q02　非零常數多項式−4的次數是多少？
3. B02-C06-Q03　x²−x²整理後是什麼？本冊是否把它的次數說成0？
4. B02-C06-Q04　計算(3x²＋x−2)＋(−x²＋4x＋5)。
5. B02-C06-Q05　計算(4x²−x＋6)−(x²＋2x−1)。
6. B02-C06-Q06　展開x(x²−3x＋2)。
7. B02-C06-Q07　展開(2x＋1)(x−3)。
8. B02-C06-Q08　整理(x²＋1)＋(−x²＋x)，並說明次數為什麼不是2。

6.7 完整解答

Q01

最高非零次方是3，所以次數為3；相應係數為5，常數項為7。x²項係數為0，不會把最高次項換掉。

Q02

−4不含變數，且不是零多項式，所以次數為0。這不是說−4的值等於0。

Q03

x²−x²的每一項都抵消，得到零多項式。本冊不給它通常的非負整數次數，不能直接回答「次數0」；次數0是非零常數的情形。

Q04

去掉加號後的括號，按次方合併：(3−1)x²＋(1＋4)x＋(−2＋5)＝2x²＋5x＋3。每組都只合併同類項。

Q05

先把被減式的三項改成−x²−2x＋1，再與4x²−x＋6相加。得到(4−1)x²＋(−1−2)x＋(6＋1)＝3x²−3x＋7。

Q06

x分配到三項：x × x²−3x × x＋2x＝x³−3x²＋2x。每個乘積的次方來自相同底數的因子相乘，不是把次方直接乘上x的值。

Q07

四個乘積是2x²、−6x、x、−3。合併中間兩項，得到2x²−5x−3。取x＝0，原式1 × (−3)＝−3，常數項也相符。

Q08

x²與−x²抵消，剩x＋1。最高非零次方是1，所以次數為1，不是2。加法的最高次項可能抵消，不能只看原來哪裡印著最大的指數。