第10章 文字題與解的驗算

文字題最容易出錯的地方，往往在計算之前：未知數沒有單位、漏了一個條件，或算出一個實數後就忘了題目只允許整件。這一章把前面的代數方法接回題意。

解題依序做五件事：定義量與範圍、列出關係、合法求候選值、檢查資格、回到原題驗算。下面的收費與票價都是明示假設的合成數學模型，不是在提供真實商業收費資訊。

10.1 固定量與隨數量變動的部分

例題1 合成里程收費模型

模型規定基本費30元，每公里12元，按實際連續里程計算，沒有進位、折扣或其他費用。總金額114元，求里程。

1. 設x為里程，單位公里，x≥0。
2. 變動費是(12元/公里) × x公里，總額關係為30＋12x＝114。
3. 同減30，得12x＝84；同除非零常數12，得x＝7。
4. 7≥0，符合里程條件。
5. 回到原題，30元＋12元/公里 × 7公里＝114元，所以答案是7公里。

唯一實數解通過題意範圍，才成為模型的唯一合格解。若真實收費另有進位，必須改模型，不能把本題公式直接當成現實規則。

10.2 兩種票要使用兩個條件

例題2 成人票與兒童票

假設成人票每張80元，兒童票每張50元，合計12張、總款750元，無其他費用。求兩種張數。

1. 設a為成人票張數、c為兒童票張數，兩者皆為非負整數。
2. 張數條件是a＋c＝12，金額條件是80a＋50c＝750。
3. 由第一條得c＝12−a，代入第二條：80a＋50(12−a)＝750。
4. 展開合併，得30a＋600＝750，所以30a＝150，a＝5。
5. c＝12−5＝7，兩者皆為非負整數。
6. 回查5＋7＝12，80 × 5＋50 × 7＝400＋350＝750，兩個條件都成立。

因此成人票5張、兒童票7張。實數方程組已唯一決定這一組，且資格檢查通過，不需要靠逐張亂猜。

10.3 幾何模型會排除代數上的候選值

例題3 長方形的寬與長

長方形的長比寬多3公尺，面積40平方公尺，求寬與長。這裡長方形要求兩邊長都為正。

1. 設寬w公尺，w＞0；長為w＋3公尺，也為正。
2. 面積關係是w(w＋3)＝40。
3. 展開移到一邊：w²＋3w−40＝0。
4. 分解為(w＋8)(w−5)＝0，代數候選是w＝−8或w＝5。
5. −8不是正的實際寬度，排除；5符合條件，長為8。
6. 回查長比寬多8−5＝3公尺，面積5 × 8＝40平方公尺，兩個條件都吻合。

全部實數候選已由零乘積性質列完，之後用原題的正長度條件篩選，因此既沒有把負長度收進答案，也沒有只找到一組就停止檢查。

10.4 本冊回顧與自我診斷

列式之前問角色與範圍；變形時問使用哪條規則、是否可逆；得到數值後問是否符合原分母、根式、整數或單位條件。回代能檢查一個候選值，完整的合法推導才能支持沒有漏掉其他解。

若答案不符，先定位錯誤層：是讀錯題意、列錯關係、算術失誤、非法操作，還是忘了篩選資格？把錯因記清楚，比只把最後數字改對更有幫助。

10.5 練習

1. B02-C10-Q01　一個實數的3倍減4等於17，求這個數並回查。
2. B02-C10-Q02　假設每本筆記本25元，沒有折扣或其他費用，恰好用100元買整本，求本數。
3. B02-C10-Q03　合成模型為固定費20元加每單位距離8元，距離d≥0且連續計費，總額84元，求d。
4. B02-C10-Q04　兩個實數的和為20，較大數減較小數為4，求兩數。
5. B02-C10-Q05　假設成人票100元、兒童票60元，合計10張、總款760元，求兩種非負整數張數。
6. B02-C10-Q06　長方形長比寬多2公尺，面積24平方公尺，求正的寬與長。
7. B02-C10-Q07　某份草稿解√(x＋5)＝x−1，平方後得到候選4與−1。請補齊條件與回代，給出全部實數解。
8. B02-C10-Q08　假設物品每件2元，不拆售、無其他費用，要求總額恰為5元。實數方程2n＝5有解，是否代表存在合格整件數？

10.6 完整解答

Q01

設此數為x，列3x−4＝17。同加4得3x＝21，同除3得x＝7。回查3 × 7−4＝17，且步驟可逆，所以唯一解是7。

Q02

設本數n為非負整數，25n＝100得n＝4。4是合格整數，且25 × 4＝100，故可買4本；單位是本，不是把金額100當成件數。

Q03

列20＋8d＝84，同減20得8d＝64，同除8得d＝8。它符合d≥0，回查20＋64＝84。d的單位沿用題目指定的距離單位，不自行改成時間或金額。

Q04

設較大數x、較小數y，x＋y＝20且x−y＝4。相加得2x＝24，所以x＝12、y＝8。回查和20、差4，而且12＞8符合角色。

Q05

設成人票a張、兒童票c張，列a＋c＝10與100a＋60c＝760。代入c＝10−a，得40a＋600＝760，所以a＝4、c＝6。兩者為非負整數，張數10、票款400＋360＝760，全部條件成立。

Q06

設寬w＞0，長w＋2。面積給出w²＋2w−24＝0，分解為(w＋6)(w−4)＝0。候選−6不合正長度；w＝4時長6，面積24且長寬差2，所以寬4公尺、長6公尺。

Q07

1. 被開方數要求x≥−5，主根等於x−1又要求x≥1，合併保留x≥1。
2. 平方得到x＋5＝(x−1)²，整理為x²−3x−4＝(x−4)(x＋1)＝0，候選4與−1已列完。
3. −1不符合x≥1；回代也會得到2＝−2，不成立。
4. 4符合範圍，√9＝3，右邊4−1＝3，所以唯一解是4。

Q08

實數方程唯一候選n＝5/2＝2.5，但它不是整數，因此原整件模型沒有合格解。2件付4元、3件付6元都不是恰好5元；不能自行四捨五入，因為那會改變原題的「恰好」條件。