第1章 點、線、面與角

一張圖能幫我們看見關係，但「看起來垂直」與「題目已給垂直」不是同一件事。本冊在通常的歐氏平面與空間中討論幾何；先把對象、角度和已知條件分清楚，再開始計算。

讀完本章，你應能區分點、線段、射線與直線，讀出角的頂點，並在有明示條件時運用角度關係。先備是第一冊的加減、分數與單位；若180−65能算出115，就可以開始。

1.1 名稱與記號包含哪些資訊

點表示位置，不把圖上的墨點大小算入長度。線段AB有端點A、B；直線AB向兩端無限延伸；射線AB從A出發，沿B的方向延伸。使用直線AB或射線AB時，A、B須相異，才能指定方向。兩個相異點決定一條直線，不能只給一個點便唯一指定直線。

平面是向各方向延伸的平坦幾何對象，不是紙張的有限外框。圖中的框只是畫圖範圍。A、B、C共線是一項條件；若還要使用AB＋BC＝AC，必須知道B在線段AC上，也就是位於A與C之間。

∠ABC的頂點是中間的B，兩邊是射線BA、BC。本冊一般的角度題使用0°至180°的非反身角；直角是90°，平角是180°，完整一周是360°。若討論大於180°的優角，會另行明說。

1.2 鄰角與對頂角要先確認直線

例題1 共線條件決定補角

A、O、C依此順序共線，射線OB在直線AC的一側，且∠AOB＝65°。求∠BOC。

1. 因O在A、C之間，OA與OC是相反射線，∠AOC是180°。
2. OB把這個平角分成兩個不重疊的角，因此65°＋∠BOC＝180°。
3. 同減65°，得到∠BOC＝115°。
4. 反查65°＋115°＝180°，且兩角都在0°至180°之間，符合配置。

不是任意兩個靠在一起的角都互補；本題真正使用的是相反射線與不重疊分割。

例題2 相交直線的對頂角

直線AB與CD相交於O，A、O、B及C、O、D各依序共線，∠AOC＝48°。求∠BOD與∠AOD。

1. OC與OD相反，故∠AOC＋∠AOD＝180°，所以∠AOD＝132°。
2. OA與OB相反，故∠AOD＋∠BOD＝180°。
3. 代入132°，得到∠BOD＝48°。
4. 兩組鄰角的和都是180°；因此本配置的對頂角相等，不必依賴圖畫得多對稱。

1.3 平行條件不能由外觀補上

例題3 平行線的內角

兩條平行直線被一條截線所截。某個內角為112°，求它的內錯角，以及同側的另一個內角。

1. 在歐氏平面中，平行線的內錯角相等，所以內錯角是112°。
2. 同側內角互補，所以112°＋另一角＝180°。
3. 另一角為68°；驗算112°＋68°＝180°。
4. 若拿掉平行條件，這兩個結論都不能直接沿用。先確認角在兩交點中的位置，也不能把任意一個角都叫作內錯角。

本書使用的平行線角度關係是歐氏幾何的基本性質，不把它延伸到球面或其他幾何模型。

例題4 兩個直角仍要看射線位置

在同一平面內，已知∠AOB＝90°、∠BOC＝90°，能否斷定O一定在A、C之間？又能否斷定A、O、C共線？

1. 不能先把90°＋90°當成∠AOC，因為題目沒有說兩個角不重疊。
2. 讓OA與OC同向、OB與它們垂直，兩個已知角都為90°，但∠AOC＝0°。
3. A與C可取同一射線上不同的點；此時A、O、C仍共線，卻不是O在A、C之間的平角配置。
4. 因為在平面內與OB垂直的射線只有兩個相反方向，這兩個直角其實仍能推出三點共線；不能推出的是「OA、OC必為相反射線」或「O必在A、C之間」。

這個例題要分清結論的強弱：共線不等於依指定順序共線。若再給兩角分居OB兩側，才得到相反射線及平角。

1.4 常見錯誤與本章回顧

讀圖先列出直線、共線順序、平行及直角等條件，再寫角度關係。對頂角相等來自兩個角有同一補角；平行線關係要有平行前提。角度相加還需要不重疊且恰好覆蓋目標角，不是看到共同頂點就能相加。

1.5 練習

1. B03-C01-Q01　線段AB、射線AB、直線AB各有幾個端點？射線AB與射線BA是否一定相同？
2. B03-C01-Q02　A、O、C依序共線，OB分割平角，∠AOB＝37°。求∠BOC。
3. B03-C01-Q03　兩個不重疊的角合成一直角，其中一角28°，另一角多少度？
4. B03-C01-Q04　兩條相交直線的一角為73°。它的對頂角及鄰接補角各是多少度？
5. B03-C01-Q05　一周被三個不重疊角完整分割，其中兩角為90°、125°，第三角是多少度？
6. B03-C01-Q06　平行線被截線所截，一個角為58°，它的同位角是多少度？
7. B03-C01-Q07　圖上兩線像是垂直，但未給角度、直角符號或其他可證條件。能直接用90°計算嗎？
8. B03-C01-Q08　兩射線形成的優角為198°，另一個較小的角是多少度？
9. B03-C01-Q09　∠AOB＝60°、∠BOC＝60°，是否必有∠AOC＝120°？說明還缺什麼配置條件。
10. B03-C01-Q10　已知α＋β＝180°且β＋γ＝180°，不依賴對稱外觀，說明為什麼α＝γ。

1.6 完整解答

Q01

線段有兩個端點，射線有一個，直線沒有端點。A、B相異時，射線AB起點為A、射線BA起點為B，兩者不是同一個點集；例如從A向背離B的方向延伸的點可在射線BA上，卻不在射線AB上。

Q02

相反射線構成180°，所以∠BOC＝180°−37°＝143°。37°＋143°＝180°，與平角分割相符。

Q03

兩角和為90°，另一角＝90°−28°＝62°。回加28°＋62°＝90°，成立。

Q04

對頂角為73°。鄰接補角＝180°−73°＝107°，反查73°＋107°＝180°。

Q05

完整一周為360°，第三角＝360°−90°−125°＝145°。三角總和90°＋125°＋145°＝360°；這裡的「三個角」不是指三角形的三內角。

Q06

平行條件成立時，同位角相等，所以是58°。若沒有平行，不能只靠位置相似得到同樣的度數。

Q07

不能。圖形外觀不是已知條件；要有垂直的明示標記、文字，或由其他條件推得垂直，才可使用90°。這不是說圖一定不垂直，而是目前證據不夠。

Q08

兩個角合成一周，所以較小角＝360°−198°＝162°。162°在0°至180°之間，且198°＋162°＝360°。

Q09

不一定。若OA與OC同向、都與OB夾60°，則兩個已知角重疊，∠AOC＝0°。若兩角在OB兩側、不重疊且合成所問的非反身角，才可相加得到120°。

Q10

兩個等式右側相同，得到α＋β＝β＋γ。兩側同減β，便得α＝γ；使用的是相等的運算性質，不是圖形的對稱外觀。

1.7 延伸閱讀方向

後面的三角形內角和會把平行線角度關係串成一般推理。現在先練習把「共線」「位於兩點之間」「射線相反」寫成不同的條件。