第2章 長度、周長與測量

一道題的數字可能是定義好的精確長度，也可能是用尺讀到的近似值。兩者都可以計算，但答案代表的精確程度不同。本章從第一冊的單位換算與小數運算出發，分清距離、路程、周長及測量誤差。

讀完後應能先統一單位再相加，沿真正的邊界求周長，並指出測量結果的合理範圍。先試算1公尺＝100公分、1公分＝10毫米；若單位不同，先不要直接把數字相加。

2.1 長度與單位要一起保存

兩點間的距離非負；只有兩點重合時距離為0。線段AB與BA的長度相同，但這不表示有方向的位移也相同。本冊的周長是封閉圖形邊界的總長，不把內部輔助線算進去。

例題1 同一長度的不同寫法

一條帶子長2公尺35公分，另一條長0.8公尺。首尾接起且沒有重疊，總長多少公分？

1. 2公尺35公分＝200公分＋35公分＝235公分。
2. 0.8公尺＝80公分，不能把0.8直接與235相加。
3. 首尾無重疊接合，長度相加為235＋80＝315公分。
4. 反向換算315公分＝3.15公尺；2.35＋0.8＝3.15，兩種單位計算一致。

例題2 長方形的周長

長方形長7.5公分、寬4公分，求周長。

1. 長方形的對邊等長，四邊依序為7.5、4、7.5、4公分。
2. 沿外框加總：7.5＋4＋7.5＋4＝23公分。
3. 也可寫成2 × (7.5＋4)＝23公分；這是加法整理，不是另外一個無理由公式。
4. 7.5 × 4＝30平方公分算的是面積，不是周長。兩種量的單位也不同。

2.2 三條邊能否接成三角形

任取三個不共線的點，從一點繞經另一點再到第三點，比直接走兩端間的線段更長。因此非退化三角形中，任意兩邊的和都大於第三邊。等號只容許三點排在一直線上的退化配置，不算本書的三角形。

例題3 有三個正數還不夠

長4、5、10公分的三根直桿，能否接成一個三角形？

1. 先看最長邊10公分，其餘兩邊和為4＋5＝9公分。
2. 9＜10，兩根短桿即使拉直也跨不過長邊兩端的距離。
3. 所以無法構成三角形。另兩個不等式雖成立，也不能彌補這一個失敗。
4. 檢查正邊長時，只需先比最長邊與其餘兩邊和；若這一條嚴格成立，另兩條自然成立。

2.3 測量值不是沒有誤差的定義

例題4 量到小數一位代表什麼

尺讀長度12.4公分，採「最接近0.1公分、正數恰在中點時向上進位」的規則。原長度可能落在哪個範圍？

1. 12.4前後兩個進位中點為12.35與12.45公分。
2. 12.35進位為12.4，所以包含左端；12.45進位為12.5，所以不含右端。
3. 原長度L滿足12.35公分≤L＜12.45公分。
4. 這是本題四捨五入規則帶來的範圍，不含尺具校正、讀尺角度或其他額外誤差。不能據此聲稱儀器真的精確到這個範圍。

若長方形兩邊分別讀為12.4與8.2公分，兩者都採同一規則，則實際邊長和在20.50至20.70公分之間，左含右不含；周長在41.00至41.40公分之間。直接用顯示值算得41.2公分是近似周長，不是唯一的真實值。

2.4 常見錯誤與本章回顧

量的名稱、數值與單位要同時保留。周長要沿題目所求區域的完整邊界計算；圖內的分割線不是邊界。沒有孔洞的簡單圖形只需計外框；若求有孔洞區域的邊界總長，孔洞的內邊界也要計入。測量題先看讀值規則，不把多按幾位計算器當成增加測量精度。

2.5 練習

1. B03-C02-Q01　3.6公尺等於多少公分？
2. B03-C02-Q02　2500毫米等於多少公尺？
3. B03-C02-Q03　三段不重疊首尾相接的繩子長2.3、1.75、0.95公尺，總長多少？
4. B03-C02-Q04　長方形長8公分、寬3公分，求周長。
5. B03-C02-Q05　邊長6公分的正方形，周長多少？
6. B03-C02-Q06　3、4、7公分能成為非退化三角形的三邊嗎？
7. B03-C02-Q07　A、B、C依序共線，AB＝3公分、BC＝5公分，求AC。若未給共線順序，還能直接得到同樣答案嗎？
8. B03-C02-Q08　從A經B走到C，路程AB＋BC是否一定等於兩點距離AC？
9. B03-C02-Q09　以例題4的進位規則讀得10.0公分，原長度的範圍為何？
10. B03-C02-Q10　長方形周長30公分、長9公分，求寬，並用四邊總和驗算。

2.6 完整解答

Q01

1公尺為100公分，所以3.6 × 100＝360公分。反向360 ÷ 100＝3.6公尺，數值與單位對回。

Q02

1公尺為1000毫米，2500 ÷ 1000＝2.5公尺。單位變大時數值變小，不是再乘1000。

Q03

三段同用公尺，總長＝2.3＋1.75＋0.95＝4.05＋0.95＝5.00公尺。無重疊的條件讓三段長度可以直接加總。

Q04

周長＝8＋3＋8＋3＝22公分，也等於2 × (8＋3)。不能寫24平方公分；那是面積。

Q05

四邊各6公分，周長＝4 × 6＝24公分。這裡乘4是數四條邊，不是把長度單位平方。

Q06

不能。3＋4＝7只達到等號，三根線段拉成直線，沒有正面積的三角形。非退化條件要求3＋4＞7，並未成立。

Q07

B在A、C之間，所以AC＝AB＋BC＝8公分。若沒有順序，可能是A在B、C之間，此時AC＝BC−BA＝2公分；因此不能省掉位置條件。

Q08

不一定。一般有AC≤AB＋BC；若A、B、C不共線，嚴格小於。只有B在線段AC上時才相等。距離是直接連接的線段長，路程則取決於行走路線。

Q09

前後中點是9.95與10.05公分。9.95進位到10.0，10.05進位到10.1，所以9.95公分≤L＜10.05公分。端點是否包含取決於題目明定的進位規則。

Q10

周長的一半是長加寬：30 ÷ 2＝15公分。寬＝15−9＝6公分，為正數。四邊相加9＋6＋9＋6＝30公分，符合原條件。

2.7 延伸閱讀方向

面積和體積的單位分別帶平方與立方。後面換算面積時，1公尺＝100公分將變成1平方公尺＝10,000平方公分，而不是100平方公分。