第3章 三角形與全等

三條線段不一定圍成三角形，兩張相像的圖也不一定能完全重合。本章用邊、角及頂點對應來判斷同一形狀與同一大小，並把已知條件寫進推理。

先備是三角形嚴格不等式、平行線角度及180°的平角。讀完後應能求基本內角，按對應順序使用全等判定，並說明為什麼只有角相同還不夠。

3.1 三內角和的平行線理由

本書的三角形由三個不共線的點及三條邊組成，三邊均為正長度；不把三點共線的退化配置算進來。

過三角形頂點A畫一條與BC平行的直線。由內錯角關係，B、C兩個內角可分別對到A處平角兩端的角；它們和原來的∠A恰分割同一平角。因此∠A＋∠B＋∠C＝180°。理由適用於所有這樣的三角形，不只某個量到接近180°的圖。

例題1 求第三個內角

三角形兩內角為55°、65°，求第三角。

1. 非退化歐氏三角形的三內角和是180°，所以第三角＋55°＋65°＝180°。
2. 先算55°＋65°＝120°，第三角＝180°−120°＝60°。
3. 60°為正且小於180°；三角相加55°＋65°＋60°＝180°，符合條件。

3.2 全等一定包含對應次序

兩圖形可經平移、旋轉及必要的鏡射完全重合時，稱為全等。寫△ABC≅△DEF，就指定A對D、B對E、C對F；因此AB對DE、BC對EF、CA對FD，相應角也相等。

在非退化三角形中，SSS是三組對應邊相等，SAS是兩組邊及它們的夾角相等，ASA是兩角及夾邊相等。AAS可先用內角和求出第三角，再化成ASA。這些是全等的充分判定；邊與角必須依同一組頂點對應，不能各選方便的一組。

例題2 三邊判定與頂點對應

AB＝3、BC＝4、CA＝5公分，DE＝3、EF＝4、FD＝5公分。按這些對應判斷兩三角形。

1. 3＋4＞5，兩組正邊長都能構成非退化三角形。
2. AB＝DE、BC＝EF、CA＝FD，三組對應邊全部相等。
3. 由SSS，△ABC≅△DEF；因此∠B＝∠E，並非隨意挑一個字母相等。
4. 把第二組轉動或翻面不影響判定，因為全等容許這些保長度的移動。

例題3 夾角是哪一個角

AB＝PQ＝6公分，AC＝PR＝4公分，∠BAC＝∠QPR＝50°。能否判定全等？

1. AB與AC的共同端點是A，兩邊的夾角是∠BAC。
2. PQ與PR的共同端點是P，夾角是∠QPR；兩個給定角正好對應。
3. 由SAS，△ABC≅△PQR，因此BC＝QR，∠B＝∠Q、∠C＝∠R。
4. 若把50°改給∠ABC與∠PQR，就不再是這兩條已知邊的夾角，不能直接套SAS。兩邊加非夾角不是一般的全等判定。

3.3 相同角度不能決定大小

例題4 AAA為什麼不能保證全等

一個正三角形邊長1公分，另一個邊長2公分。兩者的三個角都為60°，是否全等？

1. 正三角形三邊相等，以SSS交換任意兩個頂點可得對應角相等，所以三角相等。
2. 三內角和180°，每個角便是180° ÷ 3＝60°；兩個大小的正三角形都如此。
3. 若兩者全等，對應邊必相等；但1公分≠2公分，所以不全等。
4. 這個反例同時保留所有AAA條件，卻使全等結論失敗，足以否定「AAA保證全等」。下一章會用相似描述這種同形不同大小。

3.4 常見錯誤與本章回顧

先確認三角形非退化，再列對應邊角。SSS、SAS、ASA與AAS各需要完整的一組條件；「都像等腰」「有兩條邊一樣」或「角度都相同」都不能代替全等判定。證明某對應角相等後，才能把它用在後面的角度計算。

3.5 練習

1. B03-C03-Q01　5、7、13公分能成為三角形的三邊嗎？
2. B03-C03-Q02　三角形兩角為48°、72°，第三角多少度？
3. B03-C03-Q03　正三角形每個內角是多少度？說明不只靠圖的理由。
4. B03-C03-Q04　等腰三角形的兩腰相等，頂角40°，兩底角各是多少度？
5. B03-C03-Q05　AB＝DE、BC＝EF、CA＝FD且兩三角形非退化。可寫哪一組全等？C對應哪個頂點？
6. B03-C03-Q06　兩三角形兩邊各為5、7公分，這兩邊的夾角都60°，足以判定全等嗎？
7. B03-C03-Q07　兩角各為50°、70°，這兩角間的邊都4公分。另一個角多少度，能否判定全等？
8. B03-C03-Q08　用邊長3與6公分的正三角形，反駁AAA保證全等。
9. B03-C03-Q09　AB＝AC，說明△ABC與△ACB的SSS對應如何推出兩底角相等。
10. B03-C03-Q10　兩邊長7、4公分，第三邊長x公分，非退化三角形要求x在哪個範圍？

3.6 完整解答

Q01

不能。5＋7＝12＜13，違反最長邊小於其餘兩邊和的必要條件。三邊都是正數仍不夠。

Q02

第三角＝180°−48°−72°＝60°。三角總和48°＋72°＋60°＝180°，且都為正角。

Q03

三邊相等，交換頂點後可由SSS得到三角相等。三內角和為180°，所以每角60°；不是由畫得像60°決定。

Q04

兩腰相等，SSS交換兩個底點可知兩底角相等。扣去頂角後剩180°−40°＝140°，每個底角＝140° ÷ 2＝70°。反查40°＋70°＋70°＝180°。

Q05

由SSS可寫△ABC≅△DEF，依序A對D、B對E、C對F。若重排頂點，兩側必須同步重排，不能改成錯誤的邊角對應。

Q06

足夠。兩組對應邊相等，且60°是這兩邊的夾角，正是SAS。不能把同樣的結論擴展成任意一個非夾角也足夠。

Q07

第三角＝180°−50°−70°＝60°。原來兩角及其夾邊相等，已符合ASA，所以全等；求第三角是核對，不是補一條缺失的邊長。

Q08

兩個正三角形的三角都60°，AAA條件完全符合。若全等，對應邊應相等，但3≠6，所以不全等。它們只是在下一章意義下相似。

Q09

比較△ABC與△ACB：AB對AC、AC對AB，兩者由已知相等；BC對CB是同一條邊。SSS給出B對C，所以∠ABC＝∠ACB。這個理由不需要先假設高線、角平分線或圖形對稱。

Q10

7＜4＋x給出x＞3；x＜7＋4給出x＜11。另有4＜7＋x，在x＞3時自動成立。因此3公分＜x＜11公分。端點3或11只會退化，均不包含。

3.7 延伸閱讀方向

可用紙片或透明描圖疊合來理解全等，但疊圖精度不是定理證明。把每次用到的對應保留下來，下一章才不會在比例式中把不同位置的邊湊在一起。