第6章 畢氏定理

在直角三角形中，兩直角邊平方和等於斜邊平方。這句話同時包含形狀條件、邊的角色及平方運算；拿掉直角，不能照用公式。本章先證明一般關係，再處理求長與逆判定。

先備是面積的分割拼合、三角形內角和及平方根。讀完應能指出斜邊、寫出一般重排理由，並在求根時保留正長度。

6.1 四個三角形重排的證明

設直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊為c，三者均為正數。斜邊對著90°，不是依圖放在上方、右側或看起來最斜來命名。

例題1 不只驗算3、4、5

用四個全等直角三角形拼在邊長a＋b的大正方形四角，證明a²＋b²＝c²。

1. 每個角落放一個三角形，兩條直角邊沿大正方形的相鄰邊；每條外邊恰由a、b兩段組成。
2. 中央剩餘四邊形的四邊都是三角形斜邊，長度均為c。
3. 原三角形兩銳角和為90°。中央每個角等於180°減去這兩銳角之和，所以也是90°。
4. 因此中央確為邊長c的正方形，而不是只憑外觀叫它正方形。
5. 大面積＝(a＋b)²；四個三角形合計4 × ab/2＝2ab，中央面積c²。拼合沒有重疊或遺漏，故(a＋b)²＝2ab＋c²。
6. 展開左邊得到a²＋2ab＋b²＝2ab＋c²；兩側同減2ab，得a²＋b²＝c²。
7. a、b是任意正直角邊，推理沒有把它們固定成3、4，所以是一般證明。3²＋4²＝5²只是其中一個數值核對。

6.2 求長時保留邊的角色

例題2 已知兩直角邊

直角三角形兩直角邊為5、12公分，求斜邊c。

1. 已知直角，所以c²＝5²＋12²＝25＋144＝169。
2. 斜邊為正長度，取c＝√169＝13公分，不取−13。
3. 回查5²＋12²＝13²，且13大於5與12，符合斜邊角色。

例題3 已知斜邊和一條直角邊

斜邊17公分，一條直角邊8公分，求另一條直角邊b。

1. 正確關係是8²＋b²＝17²，不能把17放在兩直角邊的那一側再相加。
2. 同減64，得到b²＝289−64＝225。
3. 保留b＞0，得到b＝15公分。
4. 回查64＋225＝289，且8＋15＞17，數值與非退化三角形條件相符。

6.3 逆命題要另給理由

例題4 從三邊判斷直角

非退化三角形三邊7、24、25公分，能否判定為直角三角形？

1. 25是最長邊，先算7²＋24²＝49＋576＝625＝25²。
2. 另作一個兩直角邊為7、24的直角三角形。由已證的定理，它的斜邊長是正的√625＝25。
3. 新作的直角三角形與原三角形三邊相等，依SSS全等。
4. 對應7、24兩邊的夾角因此也是90°，原三角形為直角三角形。

這個例題示範了逆命題的一般證明方法。設原三角形是任意邊長為a、b、c的非退化三角形，且a²＋b²＝c²。另作兩直角邊為a、b的直角三角形，由已證的正向定理，其斜邊平方為a²＋b²＝c²；因邊長為正，斜邊恰為c。新作圖與原三角形遂由SSS全等，原圖中a、b兩邊的夾角也為90°。這個理由對所有符合前提的正邊長成立，不是因為原命題成立就直接把箭頭倒過來。

6.4 常見錯誤與本章回顧

求長之前標出直角和斜邊；判定直角之前以最長邊作平方比較。平方根只取正長度。√(a²＋b²)通常不等於a＋b；把根號分別拆掉會多出未被允許的運算。

6.5 練習

1. B03-C06-Q01　直角邊6、8公分，求斜邊。
2. B03-C06-Q02　斜邊13公分、一條直角邊5公分，求另一邊。
3. B03-C06-Q03　三邊8、15、17公分，是否為直角三角形？
4. B03-C06-Q04　三邊4、5、6公分，是否為直角三角形？
5. B03-C06-Q05　純幾何模型中，垂直牆與水平地面成直角，長10公尺的線段上端在牆上、下端距牆6公尺，求上端離地高度。
6. B03-C06-Q06　長方形邊長9、12公分，求對角線。
7. B03-C06-Q07　正方形邊長3公分，求對角線，保留精確根式。
8. B03-C06-Q08　用a＝3、b＝4說明√(a²＋b²)不總等於a＋b。
9. B03-C06-Q09　三邊13、14、15公分，能用畢氏逆命題判定它為直角嗎？
10. B03-C06-Q10　在例題1的重排中取a＝2、b＝3。分別算大正方形、四個三角形及中央正方形面積，再求c。

6.6 完整解答

Q01

斜邊平方＝6²＋8²＝36＋64＝100。取正長度√100＝10公分；反查100＝10²。

Q02

另一邊平方＝13²−5²＝169−25＝144，取正根得12公分。回查5²＋12²＝25＋144＝169。

Q03

17最長，8²＋15²＝64＋225＝289＝17²。三邊均正且8＋15＞17，依已說明的逆命題，對17邊的角為直角。

Q04

6最長，但4²＋5²＝16＋25＝41，不等於6²＝36，所以不是直角三角形。4＋5＞6表示它仍可成為三角形，不能把「非直角」寫成「不存在」。

Q05

模型中的高度與6公尺底邊互相垂直，10公尺是斜邊。高度平方＝100−36＝64，取正根為8公尺。6²＋8²＝10²；這只是幾何模型，不是對真實梯具或施工安全的建議。

Q06

長方形角為90°，對角線構成直角三角形。對角線平方＝9²＋12²＝81＋144＝225，所以長15公分。對角線不是兩邊長相加的21公分。

Q07

對角線平方＝3²＋3²＝18，所以長√18＝3√2公分。驗算(3√2)²＝9 × 2＝18，且長度為正。

Q08

左側＝√(9＋16)＝√25＝5，右側＝3＋4＝7，兩者不等。這個符合a、b為正的反例，已足以否定對所有a、b都成立的說法。

Q09

15最長，13²＋14²＝169＋196＝365，而15²＝225，並不相等。因此不能判定為直角；由直角三角形必滿足的正向定理，也知它不是直角三角形。

Q10

大面積＝(2＋3)²＝25；每個三角形面積2 × 3 ÷ 2＝3，四個合計12。中央面積＝25−12＝13，故c²＝13，正斜邊c＝√13。也等於2²＋3²＝13，兩條計算鏈一致。

6.7 延伸閱讀方向

畢氏定理後來可用來定義坐標距離，但本章的重排證明沒有先把距離公式當前提。遇到新的逆命題，也要像本章一樣另找可用的推理，而不是直接倒轉一句話。