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第7章 圓、弧與圓形區域

本章小節
  1. 7.1 π、圓周與面積
  2. 7.2 扇形是整圓的固定比例
  3. 7.3 弦長連接直角三角形
  4. 7.4 常見錯誤與本章回顧
  5. 7.5 練習
  6. 7.6 完整解答
  7. 7.7 延伸閱讀方向

「一個圓」有時被口語地用來指邊界，有時指整片區域。本章會分開說明：圓周是到圓心距離恰為r的點，圓盤則包含到圓心距離不超過r的全部點。半徑一律取r＞0。

先備是比例、面積、平方及畢氏定理。讀完應能求圓周、圓盤、扇形與圓環的量，辨認弧長和封閉邊界周長的差異，並保留π的精確形式。

7.1 π、圓周與面積

直徑d＝2r。所有圓彼此相似，圓周長與直徑的比是同一常數π，因此C＝πd＝2πr。π是精確常數，3.14只是近似值，不把π直接定義成3.14或22/7。

圓盤面積為πr²，可用內接正多邊形的逼近理解：把多邊形從圓心分成三角形，總面積是「多邊形周長 × 邊心距 ÷ 2」。邊數增加時，周長趨近圓周2πr，邊心距趨近r，面積趨近πr²。這裡使用面積與周長的極限性質；任何有限張三角形圖都還不是曲邊圓盤的完全相等分割。

圓周是邊界、圓盤是區域；半徑連圓心與圓周，直徑通過圓心且長為兩倍半徑。
圖19｜圓周是邊界、圓盤是區域；半徑連圓心與圓周，直徑通過圓心且長為兩倍半徑。

例題1 精確式與近似值分開

圓半徑5公分，求周長與面積；若另外指定π≈3.14，再給近似數值。

  1. 周長C＝2π × 5＝10π公分，面積A＝π × 5²＝25π平方公分。
  2. 這兩個含π的式子是精確答案，單位不同。
  3. 使用題目指定的近似，C≈10 × 3.14＝31.4公分，A≈25 × 3.14＝78.5平方公分。
  4. 近似代入沒有把10π變成「精確等於31.4」；符號≈要保留。

7.2 扇形是整圓的固定比例

對0°＜θ＜360°的圓心角，其扇形占整圓的比例是θ/360°。同一圓的弧長與扇形面積依此比例分配；這不表示弧線變成了直線。

例題2 60度扇形的三種量

半徑6公分、圓心角60°，求弧長、面積及扇形周長。

  1. 比例為60/360＝1/6。
  2. 整圓周長12π公分，所以弧長＝12π ÷ 6＝2π公分。
  3. 整圓盤面積36π平方公分，所以扇形面積＝36π ÷ 6＝6π平方公分。
  4. 扇形邊界還包括兩條半徑，周長＝2π＋6＋6＝12＋2π公分。
扇形弧長只沿曲邊量，扇形周長還要加兩條半徑；圓心角決定其占整圓的比例。
圖20｜扇形弧長只沿曲邊量，扇形周長還要加兩條半徑；圓心角決定其占整圓的比例。

例題3 圓環面積與兩條邊界

同心圓的外半徑5公分、內半徑3公分，求圓環面積及邊界總長。

  1. 內圓盤完全在外圓盤內，面積可相減：π × 5²−π × 3²＝16π平方公分。
  2. 圓環的邊界有外圓周與孔洞的內圓周，總長＝2π × 5＋2π × 3＝16π公分。
  3. 兩個數值碰巧都是16π，但一個是平方公分、一個是公分，不能當成同一種量。
  4. 面積不是π(5−3)²＝4π；那是半徑2公分的另一個圓盤。
圓環的面積扣除內圓盤，但邊界總長必須把內、外兩條圓周都加上。
圖21｜圓環的面積扣除內圓盤，但邊界總長必須把內、外兩條圓周都加上。

7.3 弦長連接直角三角形

例題4 圓心到弦的垂直距離

圓半徑5公分，M在線段AB上，OM垂直弦AB且OM＝3公分，O為圓心。求AB。

  1. OA＝OB＝5公分，OM＝3公分，△OMA、△OMB都是直角三角形。
  2. 由畢氏定理，AM²＝5²−3²＝16，BM²也等於16。
  3. AM、BM皆取正根，所以均為4公分。
  4. M在A、B之間，AB＝AM＋MB＝8公分。半徑5與距離3不能直接相加當成弦長。

7.4 常見錯誤與本章回顧

先分清半徑與直徑、邊界與區域、弧長與扇形周長。圓環面積相減，孔洞邊界長卻要加回。根式與π能保留時先保留，只有題目要求近似時再依指定精度處理。

7.5 練習

  1. B03-C07-Q01　直徑14公分，求半徑、周長與面積。
  2. B03-C07-Q02　半徑3公分，求周長與面積，保留π。
  3. B03-C07-Q03　半徑4公分、圓心角90°，求弧長、面積及扇形周長。
  4. B03-C07-Q04　半徑6公分的半圓盤，面積與完整邊界周長各是多少？
  5. B03-C07-Q05　外半徑6、內半徑2公分的圓環，求面積及邊界總長。
  6. B03-C07-Q06　半徑放大2倍，圓周長與圓盤面積各變成幾倍？
  7. B03-C07-Q07　周長20π公分的圓，半徑與面積各是多少？
  8. B03-C07-Q08　半徑6公分的圓中，一段弧長3π公分，求其對應的非優圓心角與扇形面積。
  9. B03-C07-Q09　半徑10公分，圓心到弦的垂直距離6公分，垂足在弦上，求弦長。
  10. B03-C07-Q10　半徑2公分，指定π≈3.14時求周長與面積近似值，並說明兩者單位。

7.6 完整解答

Q01

半徑＝14 ÷ 2＝7公分。周長＝πd＝14π公分，面積＝πr²＝49π平方公分。面積不能把直徑14直接當半徑平方。

Q02

周長＝2π × 3＝6π公分；面積＝π × 3²＝9π平方公分。這些是精確式，不必先換成小數。

Q03

比例90/360＝1/4。弧長＝(1/4) × 8π＝2π公分；面積＝(1/4) × 16π＝4π平方公分；周長還加兩半徑，為8＋2π公分。

Q04

面積是整圓盤的一半，為36π/2＝18π平方公分。邊界包括半圓弧12π/2＝6π公分及直徑12公分，所以周長12＋6π公分。

Q05

面積＝π(6²−2²)＝32π平方公分；邊界總長＝2π × 6＋2π × 2＝16π公分。面積與周長使用不同的加減關係。

Q06

C＝2πr，r乘2使C乘2；A＝πr²，r乘2使A乘2²＝4。這也符合相似圖形的長度與面積倍率。

Q07

2πr＝20π，同除正且非零的2π，得r＝10公分。面積＝π × 10²＝100π平方公分。回查2π × 10＝20π。

Q08

整圓周長12π，弧占比＝3π/(12π)＝1/4，圓心角＝360° × 1/4＝90°。扇形面積＝36π × 1/4＝9π平方公分。

Q09

半弦長的平方＝10²−6²＝100−36＝64，正半弦長8公分。左右兩個直角三角形給出相同半弦長，所以整弦16公分。回查6²＋8²＝10²。

Q10

周長C＝4π公分≈12.56公分；面積A＝4π平方公分≈12.56平方公分。兩個近似數字相同，但量與單位不同，不能據此把周長等同面積。

7.7 延伸閱讀方向

弧度會把圓心角與弧長的比例寫得更簡潔，留待函數與三角冊展開。這裡先保留角度制的360°，不要把尚未換算的度數直接塞進弧度公式。