第8章 對稱、等距與縮放

把紙片平移、轉動或翻面，形狀和大小不變；把影像只朝一個方向拉長，通常就不同了。本章追蹤變換保留哪些量，也用簡單坐標記錄同一點變到哪裡。

先備是全等、相似與長度平方。這裡只需約定：兩條互相垂直的數線相交於原點O，x向右為正，y向上為正，點(x,y)依序記水平與垂直位置；圖軸使用同樣的長度單位。

8.1 平移把所有點移動同一段

等距變換保留任意兩點間的距離，因此也保留由它決定的角度與全等關係。平移、旋轉、鏡射都是平面的等距變換；鏡射雖可能翻轉繞行方向，仍可用於全等。

例題1 平移後的對應線段

P＝(1,2)、Q＝(4,2)，全部點向右3、向下1個單位平移，求P′、Q′及線段長。

1. 水平位置同加3，垂直位置同減1，所以P′＝(4,1)、Q′＝(7,1)。
2. 原線段水平，長4−1＝3；新線段也水平，長7−4＝3。
3. 一般地，兩點同加同一位移，其坐標差不變；長度由這些差決定，因此不只這一條水平線段保長。
4. 反向向左3、向上1可把每個點還原，沒有任意丟失或合併點。

8.2 鏡射與旋轉保留距離

例題2 關於y軸鏡射

A＝(1,1)、B＝(3,1)、C＝(2,3)，求關於y軸鏡射的三頂點。

1. 到y軸的水平距離不變，但左右互換，規則是(x,y)變為(−x,y)。
2. 得A′＝(−1,1)、B′＝(−3,1)、C′＝(−2,3)。
3. 原AB長2，鏡像A′B′也長2；對任意兩點，水平差只改正負，垂直差不變，距離平方因此不變。
4. 再鏡射一次，−(−x)＝x，回到原來的點；繞行方向反轉不等於長度改變。

例題3 逆時針轉90度

以原點為中心逆時針旋轉90°，P＝(2,1)、Q＝(4,1)變到哪裡？

1. 在x向右、y向上的坐標約定中，規則為(x,y)變為(−y,x)。
2. 所以P′＝(−1,2)、Q′＝(−1,4)。
3. 原P、Q相距2，變後是垂直線段，長4−2＝2。
4. 原OP²＝2²＋1²＝5，變後OP′²＝(−1)²＋2²＝5；一般坐標差的平方和也只交換兩項，因此任意兩點距離保持。

8.3 統一倍率與單向拉伸不同

例題4 同一三角形的兩種放大

原三角形A＝(1,1)、B＝(3,1)、C＝(1,2)。比較「以原點為中心全部坐標乘2」與「只有x乘2」。

1. 原AB＝2、AC＝1，兩邊互相垂直，所以面積2 × 1 ÷ 2＝1平方單位。
2. 全部坐標乘2得A′＝(2,2)、B′＝(6,2)、C′＝(2,4)。兩直角邊變4與2，面積4，長度統一乘2、面積乘4。
3. 只有x乘2得A″＝(2,1)、B″＝(6,1)、C″＝(2,2)。兩直角邊變4與1，面積2。
4. 後者的水平邊倍率2、垂直邊倍率1，沒有同一倍率，不能把這個對應當成相似縮放。本例兩三角形的邊長比也不同，確實不相似。

8.4 常見錯誤與本章回顧

坐標變換前先說原點、軸方向、轉向及倍率。平移不表示只移一個點；鏡射不是把兩個坐標都改負；旋轉90°也不是只交換坐標而不管正負。縮放保形，只有倍率1時才保全部長度。

8.5 練習

1. B03-C08-Q01　點(−2,3)向右5、向下4平移後在哪裡？
2. B03-C08-Q02　點(−2,3)關於x軸的鏡像為何？
3. B03-C08-Q03　同一點關於y軸的鏡像為何？
4. B03-C08-Q04　(4,−1)繞原點逆時針轉90°後在哪裡？
5. B03-C08-Q05　(2,−3)繞原點轉180°後在哪裡？
6. B03-C08-Q06　以原點為中心正倍率3縮放，(2,−1)變到哪裡？
7. B03-C08-Q07　關於同一直線連做兩次鏡射，結果為何？用y軸規則說明。
8. B03-C08-Q08　寬2、高3的長方形只水平放大2倍，得到寬4、高3的長方形。兩者是否相似？
9. B03-C08-Q09　一個多邊形經平移、旋轉或鏡射，周長與面積是否改變？說明理由。
10. B03-C08-Q10　正方形有幾條鏡射對稱軸？圓又有幾條？

8.6 完整解答

Q01

水平−2＋5＝3，垂直3−4＝−1，所以新點(3,−1)。反向減5、加4得到(−2,3)，與原來的點一致。

Q02

關於x軸，水平位置不變、垂直位置改正負，故(−2,3)變為(−2,−3)。原點到兩點的距離平方都為4＋9＝13。

Q03

關於y軸，只改水平坐標正負，得到(2,3)。不能改成(2,−3)；後者是繞原點轉180°的結果。

Q04

套用(x,y)變為(−y,x)，得到(1,4)。原距離平方4²＋(−1)²＝17，新距離平方1²＋4²也為17。

Q05

轉180°把兩坐標都改正負，所以得到(−2,3)。也可連做兩次逆時針90°：(2,−3)先變(3,2)，再變(−2,3)。

Q06

每個坐標同乘3，得到(6,−3)。到原點的距離乘3，距離平方由5變45，正好乘9；不是等距變換。

Q07

第一次(x,y)變(−x,y)，第二次變(−(−x),y)＝(x,y)，所有點都還原。這個結論要求兩次使用同一條鏡線。

Q08

不相似。原長邊比短邊為3/2，新長邊比短邊為4/3，兩比不同；即使允許旋轉對應，也不能找到統一倍率。只比較四個直角相同並不夠。

Q09

周長不變，因每條對應邊長都不變。面積也不變，可把多邊形分成三角形，等距變換將各塊全等地移到新位置，保留每塊面積與不重疊關係，再加總即可。繞行方向可反轉，但通常的非負面積不因此變負。

Q10

正方形有4條：兩條對角線及兩組對邊中點的連線。圓的任一直徑所在直線都可作鏡線，故有無限多條；不把正方形的任意過中心直線也誤算成對稱軸。

8.7 延伸閱讀方向

坐標可把幾何變換寫成簡單規則，但坐標系本身是約定，不是圖形一定朝向某個方向。以後學線性代數時，會再把這些規則整理成矩陣與線性映射。