第9章 立體與展開圖

把盒子展開會看見面，把盒子裝滿則是在量體積。表面積與體積描述不同的量；同一張透視圖也不能直接拿來量真實邊長。本章用直角柱體、圓柱及正確的展開圖連接平面與空間。

先備是面積、圓周與畢氏定理。讀完應能計算常見柱體的表面積與體積，分清底面與側面，以及檢查展開圖會不會重疊。尺寸均指理想幾何內部模型，不另外計材料厚度。

9.1 柱體把固定底面沿高度延伸

柱體體積為底面積B乘垂直高h，即V＝Bh。長方體可從單位立方體排列理解，分數尺度可細分；一般柱體則使用等截面分層與體積的逼近性質。對直柱，側面積是底面周長乘高；斜柱的側面形狀不同，不能直接沿用這個側面公式。

例題1 長方體的六個面

長方體三邊2、3、4公分，求體積及封閉外表面積。

1. 以2×3的矩形作底，B＝6平方公分，高4公分，體積＝6 × 4＝24立方公分。
2. 六面分成三組相等的對面，面積依序為2×3＝6、2×4＝8、3×4＝12平方公分，各有兩片。
3. 總表面積＝2 × (6＋8＋12)＝52平方公分。
4. 若改取3×4作底，高2，體積12 × 2仍是24，與底面的選擇一致。

例題2 正方體展開成六個正方形

正方體邊長3公分，求表面積與體積，並說明有效展開圖需要什麼。

1. 六個面各有3²＝9平方公分，總面積6 × 9＝54平方公分。
2. 體積＝3³＝27立方公分，不是表面積再乘6。
3. 有效展開圖要讓六個面折回不同的六個位置，沿邊相接，不重疊、不缺面；僅有六個相同正方形不保證可以折成正方體。
4. 圖示採一排四格、第二格上下一格的十字形展開；每面標號可追蹤折回後的相鄰與相對關係。

9.2 底面不是矩形時

例題3 直三角柱

直三角柱底面是直角邊3、4公分的三角形，柱高10公分，求體積與封閉表面積。

1. 底面斜邊＝√(3²＋4²)＝5公分，底面積＝3 × 4 ÷ 2＝6平方公分。
2. 體積＝6 × 10＝60立方公分。
3. 三個側面是3×10、4×10、5×10的矩形，總面積＝(3＋4＋5) × 10＝120平方公分。
4. 再加上兩底面2 × 6＝12，表面積＝132平方公分。只加側面會漏掉兩個三角形。

例題4 圓柱的側面展開

直圓柱半徑2公分、高5公分，求體積及封閉表面積。

1. 底面積＝π × 2²＝4π平方公分，體積＝4π × 5＝20π立方公分。
2. 沿一條母線把側面展開成矩形，一邊是高5，另一邊是底面圓周2π × 2＝4π公分。
3. 側面積＝4π × 5＝20π平方公分。
4. 加兩底面8π，表面積＝28π平方公分。側面矩形的寬是圓周，不是直徑4公分。

9.3 常見錯誤與本章回顧

表面積的單位是平方，體積是立方。開口盒要依實際保留的面計面積；柱體公式不能直接套到錐體，因為錐體各高度的截面不同。若空間所有長度統一乘k＞0，面積乘k²、體積乘k³，單向拉伸不能冒充統一相似。

9.4 練習

1. B03-C09-Q01　正方體邊長4公分，求表面積與體積。
2. B03-C09-Q02　長方體邊長5、4、3公分，求表面積與體積。
3. B03-C09-Q03　1立方公尺等於多少立方公分？
4. B03-C09-Q04　封閉直圓柱半徑3、高4公分，求體積與表面積。
5. B03-C09-Q05　直圓柱半徑5、高6公分，側面展開矩形的寬與面積是多少？
6. B03-C09-Q06　無上蓋長方體盒長8、寬5、高4公分，求保留五面的面積，不計厚度。
7. B03-C09-Q07　兩相似立體的對應長度比為1:2，表面積比與體積比各是多少？
8. B03-C09-Q08　六個單位正方形排成完整2×3矩形，不剪開額外邊、不重疊地折，能作正方體展開圖嗎？
9. B03-C09-Q09　直三角柱底面直角邊6、8公分，柱高5公分，求體積與封閉表面積。
10. B03-C09-Q10　圓柱直徑8、高10公分，有人算體積π × 8² × 10＝640π。指出錯誤並改正。

9.5 完整解答

Q01

每個面16平方公分，六面表面積＝6 × 16＝96平方公分。體積＝4 × 4 × 4＝64立方公分。兩個量不能互換單位。

Q02

三組面積為5×4＝20、5×3＝15、4×3＝12，各有兩面，所以表面積2 × (20＋15＋12)＝94平方公分。體積＝5 × 4 × 3＝60立方公分。

Q03

每條邊1公尺＝100公分，立方體三個方向都換算，所以1立方公尺＝100³＝1,000,000立方公分。不是只乘100或10,000。

Q04

底面積9π，體積＝9π × 4＝36π立方公分。側面積＝2π × 3 × 4＝24π，兩底面18π，所以表面積42π平方公分。

Q05

展開寬是底面圓周2π × 5＝10π公分，高6公分。側面積＝10π × 6＝60π平方公分；寬不是半徑5或直徑10。

Q06

底面8×5＝40，兩長側面共2 × 8 × 4＝64，兩短側面共2 × 5 × 4＝40平方公分。總計144平方公分；上蓋40沒有保留，所以不能算入。

Q07

對應面各有長度的平方倍率，表面積比1²:2²＝1:4；體積比1³:2³＝1:8。需要所有方向同一倍率，而不是只把高度加倍。

Q08

不能。2×3矩形內有四個小正方形共用的內部格點；不切斷額外邊地折疊，四個不同面仍要共用該點。正方體任一頂點只會有三個面相會；若讓其中面重疊又違反題意。因此六格的數量正確，接合方式仍不合。

Q09

底面斜邊＝√(6²＋8²)＝10，底面積＝6 × 8 ÷ 2＝24平方公分。體積＝24 × 5＝120立方公分。側面積＝(6＋8＋10) × 5＝120，加兩底48，表面積＝168平方公分。

Q10

8公分是直徑，半徑應為8 ÷ 2＝4公分。體積＝π × 4² × 10＝160π立方公分。原錯式把半徑放大2倍，面積及體積因此錯乘4；640π ÷ 4＝160π。

9.6 延伸閱讀方向

錐體、球體與不規則區域需要另外的分割或極限推理；不可把柱體的固定截面想法直接搬過去。後續微積分冊會提供更一般的面積與體積工具，本章先把基本柱體與展開圖讀準。