第10章 幾何解題與證明

解題時畫輔助線，是為了建立可使用的關係，不是為了把希望的結論畫成真的。這一章把前面的全等、相似、面積與畢氏定理串起來，練習從已知走到目標，再檢查是否暗中補了條件。

先備是前9章的定義與基本性質。每題先寫已知與所求；新增點或線時，要說明它怎樣定義。計算得到一個數值後，仍要核對它是否是原題的長度、角度或面積。

10.1 中點連線未必先天垂直

例題1 等腰三角形的高

△ABC中AB＝AC＝5公分、BC＝6公分，D是BC中點，求AD並說明它為何是高。

1. D是中點，所以BD＝DC＝3公分；AD是兩小三角形的共同邊。
2. 比較△ABD與△ACD，AB＝AC、BD＝CD、AD＝AD，由SSS全等。
3. 對應角∠ADB＝∠ADC；B、D、C依序共線，這兩角又互補，所以每角90°。
4. 因此AD確實垂直BC，現在才可在△ABD使用畢氏定理。
5. AD²＝5²−3²＝16，取正長度AD＝4公分。
6. 回查3²＋4²＝5²，兩底段相等，整個原三角形的條件也一致。若沒有AB＝AC，過中點的線段通常不是高。

10.2 對角線分面積需要理由

例題2 平行四邊形的對角線

非退化平行四邊形ABCD，底9公分、對應高4公分，對角線AC將它分成△ABC與△CDA。證明兩者面積相等並求面積。

1. AB平行CD，截線AC給∠BAC＝∠DCA。
2. BC平行AD，截線AC給∠BCA＝∠DAC。
3. AC是共同邊，兩角及其夾邊對應相等，由ASA，△ABC≅△CDA。
4. 全等三角形面積相等，且兩者無重疊地合成原平行四邊形。
5. 原面積＝9 × 4＝36平方公分，每個三角形面積＝36 ÷ 2＝18平方公分。

本題沒有假設AC是高、角平分線或兩條對角線互相垂直；這些並不是一般平行四邊形都具備的條件。

例題3 外角和遠端內角

在△ABC中把BC延長至D，B、C、D依序共線。已知∠A＝50°、∠B＝65°，求外角∠ACD，並說明一般規律。

1. 三內角和給出∠C＝180°−50°−65°＝65°。
2. CB、CD相反，外角∠ACD＝180°−∠C＝115°。
3. 若把三內角記為α、β、γ，一般地α＋β＋γ＝180°，所以180°−γ＝α＋β。
4. 因此外角等於兩個不相鄰內角之和；本例50°＋65°＝115°，與前一條計算鏈相同。

10.3 一般命題與反例的檢查方式

例題4 相同周長與相同面積

「周長相同，面積必相同」與「面積相同，周長必相同」都對嗎？

1. 長方形3×4與2×5的周長都為14，但面積分別12、10平方單位，否定第一句。
2. 長方形2×6與3×4的面積都12，周長分別16、14單位，否定第二句。
3. 兩組反例的邊長都為正，都是合法長方形，並且確實滿足各自要反駁句子的前提。
4. 一個有效反例就能否定「對所有」的說法；反過來，列幾個符合例子不能證明一般命題。

10.4 常見錯誤與本章回顧

常見的跳步是：看見中點就當作高、看見兩角像一樣就宣稱相似、看見平方關係就忘記直角前提，或把一組代入當成一般證明。每一步旁邊保留理由，能幫我們找到究竟哪一項條件被省掉了。

若答案不合，先查單位、頂點對應、退化情形與輔助線定義，再查算術。不把多畫一個直角符號當成證明，也不因一張非比例圖的視覺印象推翻已給定的精確條件。

現在已有讀圖、計算、輔助線與基本證明的共同語言。函數與三角冊會把角、坐標與變化再連起來；集合、邏輯與證明冊則會更仔細處理命題方向、量詞與反例。本冊的標準推導能重建，就比只記一串公式更接近真正熟悉。

10.5 練習

1. B03-C10-Q01　等腰三角形兩腰13、底10公分，連頂點與底邊中點，求這條線段長；先說明為何垂直。
2. B03-C10-Q02　平行四邊形底8、高5公分，任一對角線分成的兩三角形面積各是多少？
3. B03-C10-Q03　三角形兩角35°、80°，求第三角及第三角相鄰的外角。
4. B03-C10-Q04　三角形底12、高7公分，從頂點連到底邊中點，證明兩小三角形面積相等並求面積。不能先假設這條中線是高。
5. B03-C10-Q05　四邊等長的四邊形是否必為正方形？給出符合前提的反例。
6. B03-C10-Q06　只知四邊形一組對邊平行，是否必為平行四邊形？可用底長不同的梯形說明。
7. B03-C10-Q07　標示「不按比例」的圖沒有高的數值，能否用圖中像素長度的比例算出精確面積？
8. B03-C10-Q08　三邊5、7、12的資料能否直接當本書的三角形套面積公式？
9. B03-C10-Q09　只知AB＝3、BC＝4、DE＝6、EF＝8，兩三角形非退化但未給相似。兩組邊長比相同是否已足以判定相似？
10. B03-C10-Q10　對任意正長度a、b的長方形，說明對角線為何把它分成兩個等面積三角形，並求對角線長。區分一般理由與某個數值驗算。

10.6 完整解答

Q01

中點分底為5、5，兩小三角形有兩腰13相等、兩半底5相等與共同中線，由SSS全等。中點處兩角既相等又互補，所以各90°。此後才用畢氏定理：高的平方＝13²−5²＝169−25＝144，正高12公分。回查5²＋12²＝13²。

Q02

平行四邊形對角線兩側由兩組平行線的對應角與共同邊可得全等，因此面積相等。總面積＝8 × 5＝40，每個20平方公分；不需知道對角線長度。

Q03

第三角＝180°−35°−80°＝65°。其相鄰外角＝180°−65°＝115°，也等於兩個遠端內角35°＋80°。兩條推理鏈使用同一組明示條件。

Q04

中點把底分成6與6。兩小三角形的頂點相同，底邊又在同一直線上，所以到該直線的垂直高都為7。各面積＝6 × 7 ÷ 2＝21平方公分，合計42，等於12 × 7 ÷ 2。中線可以是斜的，不影響兩塊共用同一個高。

Q05

不一定。把兩個邊長1的正三角形沿一邊接在相反兩側，外框四邊均長1，內角為60°、120°、60°、120°，沒有四個直角。因此四邊等長不保證正方形；還缺合適的直角條件。

Q06

不一定。例如A＝(0,0)、B＝(8,0)、C＝(6,3)、D＝(2,3)，AB與CD都水平，底長8與4不同。從下到上，AD向右移2，BC卻向左移2，所以這兩邊不平行。它符合一組對邊平行，卻不是兩組對邊都平行的平行四邊形。

Q07

不能。「不按比例」已排除用圖片距離當真實比例；有限像素也不提供未給的精確長度。可以加輔助線尋找可推得的高，或指出條件不足，但不能自行把視覺估值升成精確條件。

Q08

不能。5＋7＝12，資料只能拉成退化的直線配置，違反三點不共線的定義。若另定義退化圖形面積為0，那是延伸慣例，不能冒充題目給了一個本書意義的非退化三角形。

Q09

不足。可取AC＝5、DF＝9，得到三邊3、4、5及6、8、9的合法三角形。前兩比都2，但第三比9/5不等於2，所以不相似。若還給這兩已知邊的夾角相等，才可用SAS型相似判定。

Q10

對角線兩側的三角形，有長方形對邊各為a與b相等，且對角線為共邊，由SSS全等。它們無重疊地合成面積ab的長方形，所以各為ab/2。每個又含一個直角，對角線平方為a²＋b²，正長度為√(a²＋b²)。這些理由對任意a、b＞0成立；取a＝3、b＝4驗得面積6與對角線5，只是一般結果的一個例子。