第1章 定義、假設與結論

1.1 從算出答案到說明理由

第二冊練習過合法的式子變形。本冊再向前一步：先說清楚談哪些對象、已經知道什麼，以及要證明什麼。證明不是把幾個看起來正確的式子排在一起，而是讓每一步都能回到假設、定義或已經建立的結果。

本章完成後，你應能分開定義、例子與命題，辨認假設和結論，並在動手之前固定論域。先備只需第二冊的基本代數。全書採古典邏輯；ℕ={0,1,2,…}，正整數寫成ℕ₊={1,2,3,…}。

1.2 定義給名稱 命題提出主張

定義約定一個詞怎麼使用。例如「整數n是偶數」的意思是「存在整數k，使n=2k」。這不是先計算幾個數再猜出來的規律，而是本書使用「偶數」的資格。

例子展示某個對象符合定義。例如6=2·3，所以6是偶數。命題則對某個範圍提出可判定真假的主張，例如「任意兩個偶數的和仍是偶數」。一般命題需要一般理由；展示6+8=14，只處理了一組輸入。

「設n為整數」固定對象範圍；「若n為偶數」增加假設；「則n²為偶數」是要得到的結論。把這三件事分開，才知道允許使用哪些理由。

1.3 例題

例題1 把定義用在指定整數

判斷−8是否為偶數。偶數定義要求的是整數見證，不要求見證為正數。取k=−4，便有−8=2·(−4)，所以−8是偶數。

回查時同時核對兩件事：−4確實是整數，等式也確實成立。只寫「因為可以除以2」容易漏掉商必須是整數；例如1也能在實數中除以2，卻不是偶數。

例題2 從假設走到結論

證明偶整數n的平方是偶數。由假設及定義，存在整數k，使n=2k。代入得到n²=4k²=2(2k²)。

整數乘法封閉，所以2k²仍是整數。把它當作新見證，正好符合偶數定義。結論適用於所有符合假設的n，不只適用於某一次代入。

例題3 同一式子在不同論域的真假

考察「每個x都有x²≥x」。在ℕ中，x=0或1時取等號；x≥2時，x(x−1)≥0，故x²−x≥0。這就覆蓋所有自然數。

若論域改成ℝ，取x=1/2，便有x²=1/4<1/2，所以原句不成立。反例沒有推翻自然數版本，因為1/2不屬於那個版本的論域。

例題4 定義中的兩個方向

正整數p稱為質數，若p>1，且p的正因數只有1和p。判斷1與2：1不符合p>1，所以不是質數；2>1，而其正因數正是1、2，所以是質數。

「只有兩個正因數」在這裡是可檢查的特徵；不能把「看起來不能再分」當作定義。定義也不保證符合資格的對象一定存在，存在性仍需例子或證明。

1.4 讀證明時的三個問題

先問這一步使用哪個條件，再問新引入的符號屬於哪個集合，最後問所得結論是否真的就是原目標。例題2裡的2k²不是隨手改名，而是交給偶數定義的整數見證。

本書用「若P，則Q」表示P⇒Q；用「P若且唯若Q」表示P⇔Q，後者包含兩個方向。此時先認得形式，第4章再完整處理連接詞。證明一個方向，不能自動宣稱兩個方向都成立。

1.5 練習

1. B05-C01-Q01 用偶數定義判斷−14，寫出整數見證。
2. B05-C01-Q02 用偶數定義判斷0，說明見證的資格。
3. B05-C01-Q03 證明：若整數a、b均為偶數，則a+b為偶數。
4. B05-C01-Q04 指出「若整數n是4的倍數，則n是偶數」的論域、假設與結論，並證明它。
5. B05-C01-Q05 「每個x都有x²>0」在ℝ上是否成立？給出合格理由。
6. B05-C01-Q06 「每個非零實數x都有x²>0」與上一題有何差別？證明修正版。
7. B05-C01-Q07 已知2+4、4+6、6+8都是偶數，是否已證明任意兩個偶數的和是偶數？補出所缺理由。
8. B05-C01-Q08 依正整數質數定義，判斷9與11。
9. B05-C01-Q09 「若x²=1，則x=1」在ℝ與[0,∞)上分別真假如何？
10. B05-C01-Q10 有人寫「因為a+b是偶數，所以a、b都是偶數」。檢查這是否是第3題的同一方向。

1.6 完整解答

Q01

取整數k=−7，便有−14=2k。見證在要求的整數範圍內，故−14是偶數。負號不妨礙使用定義。

Q02

取k=0，則0=2·0，而0是整數，所以0是偶數。偶數定義沒有「必須大於0」這項限制，不能自行補上。

Q03

由假設，存在整數r、s，使a=2r、b=2s。因此a+b=2r+2s=2(r+s)。整數加法封閉，r+s是整數，故a+b是偶數。這個見證同時處理所有符合假設的a、b。

Q04

論域是整數n；假設是存在整數k使n=4k；結論是n為偶數。由n=4k=2(2k)且2k∈ℤ，便得到符合偶數定義的見證。證明沒有使用結論當前提。

Q05

不成立。0屬於ℝ，而0²=0，並不大於0，所以0是合格反例。指出某個非零數平方為正，無法補救原句對0的失敗。

Q06

修正版排除了上一題的反例，但仍需證明其餘輸入。非零實數x不是正就是負；x>0時x²>0，x<0時−x>0且x²=(−x)²>0。兩種情形覆蓋全部非零實數。

Q07

三次計算只證明三組例子。一般理由是把任意兩個偶數寫成2r、2s，其中r、s為整數，然後將和整理成2(r+s)。既然見證不依賴某組特定數值，才可得到任意兩個偶數的結論。

Q08

9的正因數含3，而3既不是1也不是9，所以9不是質數。11大於1；若11有非平凡正因數，其一不大於√11<4，只需檢查2、3，兩者均不整除11，故11只有1、11兩個正因數。這裡有限檢查的範圍來自因數成對的理由，不是隨意只試兩個數。

Q09

在ℝ上不成立：x=−1滿足x²=1卻不等於1。在[0,∞)上，由x²−1=(x−1)(x+1)=0，且x+1>0，可得x−1=0，故x=1。論域限制提供了後一個論域版本所需的資格。

Q10

不是同一方向。第3題從「兩者都偶」推出「和偶」；這裡反過來，由結論猜回原假設。取a=b=1，和為2卻兩者都不是偶數，便推翻反向敘述。原方向仍然正確。

1.7 本章回看

把定義展開，通常就能看見應該構造的見證。進入下一章時，仍保留這個習慣：符號的資格先於符號的操作。