第2章 集合與集合運算
2.1 元素與集合不是同一層
集合描述一群可辨識的對象。寫x∈A表示x是A的元素；寫A⊆B表示A的每一個元素也都在B中。前者在談一個對象是否屬於集合，後者在談兩個集合的包含關係。集合本身也可以當作另一集合的元素，因此要看符號兩邊實際放的是什麼。
本章學會交、聯、差與補集，也用逐元素推理證明集合相等。本書只從已給集合取子集、配對或作明示構造，不把「所有集合組成的集合」當作可隨意使用的對象。
2.2 聯集 交集 差集與補集
A∪B收集在A或B中至少一邊的元素；A∩B收集同時在兩邊的元素；A∖B收集在A但不在B的元素。這裡的「或」包含兩邊都符合的情形。
補集需要先固定全集U，再寫Aᶜ=U∖A，其中A⊆U。沒有固定U，單寫「不在A的所有東西」無法確定補集範圍。空集合∅沒有元素；∅與{∅}不同，後者有一個元素，就是空集合本身。
2.3 例題
例題1 在有限全集內運算
設U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,4}，B={2,3,4}。逐項檢查可得A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,4}，A∖B={1}，Aᶜ={3,5,6}。
聯集內的2、4各只列一次，因為集合不計重複。核對Aᶜ時要對照U，而不是只對照B，所以5、6也必須列入。
例題2 用兩個包含關係證相等
證明A∩B=B∩A。任取x∈A∩B，定義給出x∈A且x∈B；交換「且」兩邊，得到x∈B且x∈A，故x∈B∩A。這證得A∩B⊆B∩A。
把A、B交換，同樣證得B∩A⊆A∩B。兩邊相互包含，才得到相等；只完成其中一個方向還不夠。
例題3 證明一條De Morgan律
在固定U內，證明(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ。任取x∈U，x在左邊若且唯若它不在A∪B；這又若且唯若x既不在A也不在B；也就是x同時在Aᶜ、Bᶜ，正好是在右邊。
此處每個「若且唯若」都可雙向讀，因為只是展開同一個元素資格。區域圖幫助定位，逐元素的等價才處理任意集合。
例題4 空集合與包含關係
任意集合A都有∅⊆A。若要使這句失敗，必須找到某個x∈∅卻x∉A；但空集合根本沒有這樣的x，所以不存在失敗的元素。
另一方面，∅∈A不是永遠正確。例如A={1,2}不含∅；A={∅,1}才含∅。不能把剛證明的包含關係直接改成隸屬關係。
2.4 笛卡兒積與冪集合
A×B是所有有序對(a,b)的集合，其中a∈A、b∈B。有序對的座位有意義：(1,2)與(2,1)一般不同。A、B任一為空，乘積就為空。
冪集合𝒫(A)是A的所有子集所成的集合。若A={a,b}且a≠b，則𝒫(A)={∅,{a},{b},{a,b}}。取或不取每個元素，共有2·2=4種選擇；對有n個元素的有限集合，同樣得到2^n個子集。第10章會看見無窮集合不能只靠有限張表處理。
2.5 練習
- B05-C02-Q01 設U={0,1,2,3,4}、A={0,2,4}、B={1,2}，求聯集、交集、A∖B及Bᶜ。
- B05-C02-Q02 設A={∅}，判斷∅∈A、∅⊆A、A⊆∅三句的真假。
- B05-C02-Q03 證明A∖B=A∩Bᶜ，明示全集條件。
- B05-C02-Q04 證明A∪∅=A，不只畫圖。
- B05-C02-Q05 在固定全集中證明(A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ。
- B05-C02-Q06 若A⊆B，證明A∩C⊆B∩C。
- B05-C02-Q07 列出{a}×{0,1}，並求{a}×∅。
- B05-C02-Q08 列出𝒫({0,1})，並分別用隸屬和包含符號說明{0}的資格。
- B05-C02-Q09 若A∪B=A，證明B⊆A；反方向是否也成立？
- B05-C02-Q10 「A∖B=B∖A」是否對任意集合成立？找出反例並說明兩邊何時可相等。
2.6 完整解答
Q01
A∪B={0,1,2,4}，A∩B={2}，A∖B={0,4}。Bᶜ要從U拿掉1、2，故為{0,3,4}。每項都可用元素是否通過相應資格反查，不能把A∖B誤成「兩邊不同的所有元素」。
Q02
∅∈A為真，因為A明列的唯一元素正是∅。∅⊆A也為真，這是空集合包含於任意集合的性質。A⊆∅為假：∅是A的元素，卻不是空集合的元素，已提供不包含的見證。
Q03
固定U並要求A、B⊆U。任取x∈U，x∈A∖B若且唯若x∈A且x∉B；又因x∈U，後半正是x∈Bᶜ。因此資格等價於x∈A∩Bᶜ，兩邊集合相等。缺了共同全集，Bᶜ的意思尚未固定。
Q04
若x∈A∪∅，它必須在A或∅中；後者不可能，所以x∈A。反過來，若x∈A，便已符合聯集「至少一邊」的資格，故x∈A∪∅。相互包含得到相等。
Q05
任取x∈U。x不在A∩B，表示「在A且在B」為假，也就是至少有一邊不成立：x∉A或x∉B。這等價於x∈Aᶜ或x∈Bᶜ，即x∈Aᶜ∪Bᶜ。所有步驟都是雙向資格，故得到集合相等。
Q06
任取x∈A∩C。它同時在A及C內，而A⊆B把x∈A送到x∈B。因此x∈B且x∈C，故x∈B∩C。這證明的是包含，不必證明B∩C的元素都回到A∩C。
Q07
有序對的第一座只能是a，第二座可為0或1，所以乘積為{(a,0),(a,1)}。若第二集合為空，就沒有可坐第二座的元素，因此{a}×∅=∅。乘積的元素是有序對，不是把兩邊元素直接合在一起。
Q08
冪集合為{∅,{0},{1},{0,1}}。{0}是原集合的子集，所以{0}⊆{0,1}；也正因為它是子集，才有{0}∈𝒫({0,1})。前一句比較兩個集合的包含，後一句把整個子集當作冪集合的一個元素。
Q09
任取b∈B，它一定在A∪B中；由假設A∪B=A可得b∈A，故B⊆A。反過來，若B⊆A，聯集內無論元素來自哪邊都在A，所以A∪B⊆A；又A⊆A∪B，故相等。因此兩個條件確實等價。
Q10
不普遍成立。例如A={1,2}、B={2}，左邊為{1}，右邊為∅。若兩個差集相等，任何在其中的元素都要同時屬於A不屬於B，又屬於B不屬於A，這不可能，所以兩者都只能為空；於是A⊆B且B⊆A，即A=B。反過來A=B時兩個差集都空，確實相等。
2.7 本章回看
集合等式可改寫成「任意元素在左邊若且唯若在右邊」。把符號轉成資格，通常比只憑區域顏色更容易看出漏掉的條件。