第1章 變化與局部觀察
1.1 先問輸入在哪裡
第四冊把函數當成有定義域的對應；第五冊讓我們把假設寫清楚。這裡先做一件小事：選定一個觀察點，分開記錄輸入的改變與輸出的改變。若 t 表示秒、s(t) 表示公尺，則 s(t₂)−s(t₁) 是位移，不能拿位置 s(t₂) 直接代替位移。
固定起點 a，令 h 是輸入增量。只有當 a 與 a+h 都在定義域，且 h≠0 時，才可取兩點的平均變化率：
平均變化率 = [f(a+h)−f(a)]/h。
圖上這是割線的斜率。若 h<0，第二點位於起點左側；分子、分母依同一順序相減。交換兩點時兩個差同時變號，商不變。單位是「輸出單位／輸入單位」，不是單純看圖線陡不陡。
1.2 四個例題
例題1 固定起點再縮短步長
設 f(x)=x²，從 a=1 看向 x=2。割線斜率是 (4−1)/(2−1)=3。改看 x=5/4，斜率變成 (25/16−1)/(1/4)=9/4。
這不是換了一條函數，而是換了第二點。一般地，(1+h)²−1=2h+h²；只在 h≠0 時除以 h，得到 2+h。靠近時斜率似乎接近2，但極限的定義要到後面才用來保證這句話。
例題2 位移、時間差與單位
玩具車的位置 s(t)=t²+1 公尺，0≤t≤4。從 t=1 到 t=3，位置由2到10，位移是8公尺；時間差2秒，所以平均速度是4公尺／秒。它並不是整段每一刻都以4公尺／秒前進；只憑這個商不能斷定各時刻的速度。
例題3 兩個方向給不同訊息
以 f(x)=|x| 的 x=0 為起點，若 h>0，則 |h|/h=1；若 h<0，則 |h|/h=−1。兩側都能任意靠近，但割線斜率沒有合成同一個值。即使點與曲線連在一起，也不代表局部有唯一斜率。
例題4 近似不等於相等
比較 f(x)=x² 和直線 g(x)=2x−1。在 x=1，兩者同為1；在 x=1+h，兩者差為 (1+h)²−(1+2h)=h²。若 h=1/10，差為1/100；若把 |h| 再縮小一半，差變為1/400。把差明寫出來，比「放大看起來很像直線」更能說明近似的品質。
1.3 練習
- B06-C01-Q01 求 f(x)=3x−2 從 x=1 到 x=4 的平均變化率。
- B06-C01-Q02 s(t)=9−2t 公尺，t 以秒計。求 1 到3秒的位移與平均速度。
- B06-C01-Q03 求 f(x)=x² 從 x=2 到 x=2.1 的平均變化率。
- B06-C01-Q04 對 f(x)=x²+3，把從 a 到 a+h 的差商整理成不含分母 h 的式子，保留條件。
- B06-C01-Q05 f(x)=|x−1|。以 a=1 比較 h=1/2 與 h=−1/2 的差商。
- B06-C01-Q06 f(x)=√(x−1)。以 a=1 觀察時，哪些 h 可以用在差商？
- B06-C01-Q07 s(t)=t²−4t，求 t=1 到3 的平均速度，並說明為什麼不能說物體沒動。
- B06-C01-Q08 在 x=1.02，以 g(x)=2x−1 近似 f(x)=x²，求 f(x)−g(x)。
- B06-C01-Q09 f(x)=x（x≤1），f(x)=2x−1（x>1）。求以1為起點的兩側差商。
- B06-C01-Q10 三點 (0,0)、(1,1)、(2,4) 能否唯一決定所有 x 的函數值？給出反例。
1.4 完整解答
Q01
f(1)=1、f(4)=10，所以變化率為 (10−1)/3=3。對一次函數，這也等於 x 的係數。
Q02
s(1)=7、s(3)=3，所以位移為3−7=−4公尺；平均速度為 −4/2=−2公尺／秒。負號表示朝位置座標的負方向。
Q03
輸入差為1/10，輸出差為441/100−4=41/100，所以商為41/10=4.1。
Q04
分子為 (a+h)²+3−(a²+3)=h(2a+h)。當 h≠0，差商等於2a+h；簡式在 h=0 有值，但原差商仍未定義。
Q05
f(1)=0，左右兩個第二點的值都為1/2。分別除以1/2與−1/2，得到1與−1。
Q06
1+h 必須滿足 1+h≥1，所以 h≥0；差商又要求 h≠0。因此只可取 h>0，沒有左側差商。
Q07
s(1)=s(3)=−3，平均速度為0。但是 s(2)=−4，位置曾經改變；終點與起點相同只說明位移為零。
Q08
x=1+1/50，差等於 h²=(1/50)²=1/2500=0.0004。近似值較小。
Q09
左側 h<0 時 f(1+h)=1+h，差商為1；右側 h>0 時 f(1+h)=1+2h，差商為2。兩個公式在起點接上，不保證斜率接上。
Q10
取 f(x)=x²、g(x)=x²+x(x−1)(x−2)。三個指定輸入使加項為零；在 x=3，f(3)=9，g(3)=15。因此有限資料不決定整條規則。